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ビデオのトランスクリプト

このビデオでは計算 (操作) の順序について ちょっとお話しましょう。 ここではぜひ集中して もらいたいと思います。 なぜなら,数学では 本当に「全て」のことが 計算の順序に固く基づいて 行なわれるからです。 ここで話すことは,そうですね。 計算(操作)の順序と言う時には, 何を意味しているのでしょう? ちょっと例をやってみましょう。 ここでのポイントは, 数学の表現は 一通りだけに解釈できる ということです。 数学の表現を1つ ここに書いてみましょう。 7 たす 3 かける 5。 もし計算の順序が 決まっていなかったら, そうですね。この表現には 2 つの解釈があります。 左から右へと単純に 読むこともできます。 「まず 7 + 3 を計算しよう」 「そして,それに 5 をかけよう。」 かける 5。 7 + 3 は 10 に等しいです。 それにかける 5,5 をかけると, 10 x 5 は 50 に等しいです。 これがこの式を解釈する 1 つ目の方法です。 もし,私たちが計算の順序を 決めておかなければ -- 左から右へと計算するというのも 1 つの方法でしょう。(訳注: そう決める) でもほかの人は 「私はかけ算を先にやりたい です。」と言うかもしれません。 もしそうだとしたら, 7 + ... 3 x 5 を先に計算 するので,ちょっと色を変えて 3 x 5 この,7 + … 3 x 5 は, 3 x 5 は 15 に等しいので, 7 + 15 は 22 に等しいです。 つまり 2 つの異なった解釈を 持つことに気がつきました。 これは左から右へと 計算したものです。 こちらは,先にかけ算を計算して, そしてたし算を計算しました。 1 つの問題に 2 つの答え, これは数学ではクール ではありません。 もしこれが,たとえば 何かを月に送るような場合 この表現を2人の人がする, あるいは 1 つのコンピュータが 片方 (の方法) で, もう1つのコンピュータが 他の方法で計算したら ロケットは月ではなくて火星に 行ってしまうかもしれません! そうなると全く使えません。 ですから,計算の順序については 決めておかなくてはいけないのです。 この計算の解釈について皆の 意見が一致しなくてはいけません。 計算の順序について皆が 一致している意見というのは, ここに書いておきます。 「かっこ」が最初。 そして次に「指数」です。 もし指数が何のことか わからなくても, 今は心配する必要はありません。 このビデオで例題に指数が でてくることはありません。 ですからこのビデオではそれについて 心配することはありません。 次に「かけ算と割り算」を計算します。 かけ算と割り算には同じ レベルの優先度があります。 そして最後にたし算と ひき算を計算します。 さて,この例の計算の 順序はどうなるでしょうか? これには題をつけておきます。 これは計算の順序として 合意されたものです。 この計算の順序を守れば, 与えられた式について, いつも同じ答えを得ます。 これはどうなるでしょうか? これを解釈するいちばん 良い方法は何でしょうか? そうですね。ここには かっこはありません。- かっこというのは, こういうものです。 この数字の回りにある小さな 曲がったものがかっこです。 ここではかっこは1つもありません。 かっこはあとでやりましょう。 ここには指数もありません。 しかし,かけ算はあります。 ここにはかけ算があります。 計算の順序が言うには, 「かけ算と割り算を先にせよ。」 つまり,かけ算を最初にします。 ここにはかけ算があるので, この計算を先にします。 これはたし算とひき算よりも 高い優先度を持っています。 ここではこのかけ算を最初にします。 ここには 3 かける 5 があります。 それは 15 です。そして 7 をそれにたします。 ここにはたし算があります。 かけ算を最初にしたので, それが15 になって, それに 7 を加えると 22 になります。 合意された計算の 順序に基づくと, こちらにあるのが 正しい答えです。 この表現を解釈する 正しい方法はこの 22 です。 もう1つ例をやってみましょう。 たぶんそうした方がもっと はっきりとわかることでしょう。 ピンクで例題を解いてみます。 7 + 3 があって, それにかっこをつけます かける 4 割る 2 ひく 5 かける 6 をやってみましょう。 あらゆる種類の難しい ことがここにありますね。 でも単に計算の順序に そって計算すれば, これはきれいに単純 に計算できます。 そして皆が同じ答えになる ことを期待しましょう。 では計算の順序に沿うと, 最初にすることは, かっこを探すことです。 ここにかっこがありますか? ありますね! ここにカッコがあります。 7 + 3 の回りにかっこがあります。 計算の順序では,「これを最初 にしよう」と言っていますから, 7+3 を計算して, それが 10 になります。 10 かける残りになります。 書き直さなくてもいいように, コピー&ペーストしておきます。 コピーして,ペーストと… これで10 かけるこちら側 というふうになりました。 最初にかっこを計算しました。 では次は何をすべきでしょうか? もうこの式にはかっこはないです。 次は指数を計算すべきです。 でも指数はここにないです。 指数がどういうものか知りたい 人には,こういうものです。 7 の2乗,このように 小さな数が数の右肩に見えるでしょう。 こういうものが指数ですが, ここにはないです。 ですからその次のかけ算と 割り算に行きます。 かけ算はどこにありますか? かけ算,割り算…割り算がここに あってかけ算はまたここにあります。 こういうふうに,複数の計算 (演算) が同じレベルにある場合, この私達の計算の順序では, かけ算と割り算が同じ レベルにある時には 左から右へと計算します。 この場合,まず 4 をかけて, その後,2 で割ります。 最初に 4 を 2 で割ってその結果 を 10 にかけたりはしません。 そしてここではひき算をする前に 5 かける 6 を計算します。 では,それが何になるかを 考えてみましょう。 かけ算を最初にしますので,… このかけ算を同時に することもできます。 なぜなら,それによって 答えは変化しないからです。 しかし私はここで順番に 1 つ ずつやっていきたいと思います。 次のステップでは,この 10 x 4 を計算したいと思います。 10 x 4 は 40 に等しいです。 そしてそれを 2 で割っています。 これをコピー&ペーストして 簡単になった式を見てみましょう。 ここで注意することは, かけ算と割り算が, まったく同じレベルにあることです。 その場合には左から 右へと計算します。 この割る 2 を 1/2 をかけたもの として考えることもできますけれども, その場合にも順番は関係ありません。 ただ,かけ算と割り算が 混ざっている場合には, 左から右へと計算します。 すると 40 割る 2 があります。 この割り算とこの かけ算があります。 これは一緒ではありません。 ですから実は同時に 計算することができます。 はっきりさせておきたいのは, どちらもひき算をする前に 計算することです。 なぜなら,かけ算/割り算は たし算/ひき算よりも 優先度が高いからです。 このようにかっこを書いて, ひき算をする『前に』先に計算する ということをはっきり させておきましょう。 (なぜなら) かけ算/割り算の 優先順位が高いからです。 40 を 2 で割ると20です。 このマイナスの符号は そのまま持っていって, 5 かける 6 は 30 に等しいです。 20 ひく 30 は -10 に等しいです。 これが正しい解釈です。 ここで私がとてもとてもはっきり させておきたいのは, 同じレベルに何かがある場合には, たとえば,1 + 2 - 3 + 4 - 1 がある場合, たし算とひき算は同じ レベルにあります。 この場合,計算の順序では, 左から右へと計算すべきです。 この 1+2 は 3 , そして 3 として,3 - 3 + 4 - 1, 3 - 3 は 0 で + 4 - 1。 これは 4 - 1 と同じです。 それは 4 - 1 と同じで,それは 3。 このように左から右へと 計算することです。 かけ算と割り算の全部が同じ レベルにある場合でも同じです。 たとえば 4 かける 2 割る 3 かける 2 があれば, まず 4 かける 2 は 8 で, それを 3 で割って, そして 2 をかける。 8 割る 3 は,… ここは分数がでてきましたが, 8 割る 3 は, 8/3 で, それかける 2 は, 8 かける 2 で 16,これは 16/3 に等しくなります。 これが正しい方法です。 このかけ算を先にやって,それで 2 を割ったりはしません。 計算の順序で 1 つだけだらしなく 計算して良い場合というのがあって, 「全部が」たし算か「全部が」 かけ算の場合です。 もし 1+5+7+3+2 があった時には, どの順番で計算しても 関係ありません。 2+3 を先にしても, 右から左へと計算しても, 左から右へ計算しても, 真ん中からはじめても, もしそれが,たし算だけならば どこからやってもかまいません。 同じようにかけ算, 1 かける 5 かける 7 かける3 かける 2 この場合にはどのような順序で 計算するかは関係ありません。 これは全てがかけ算か 全てがたし算の時は, 関係なく計算できます。 もし割り算がここにあったり, ひき算が真ん中にあったりしたら, 左から右へと計算してください。