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1 ステップの乗算方程式: 分数係数

逆数をつかって分数を含む方程式を解く方法を学びます。この方程式の両辺に分数の逆数をかけ,係数を 1 にします。こうすることで,方程式が簡単になり,変数の値を見つけることが簡単になります。 Sal Khan により作成されました。

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次の方程式を考えましょう。 2/5 x = 10 です。 この方程式を解くには どうしたら良いでしょうか? もしかすると,左辺が 5 分の 2 x ではなくて x だけだったら良いのに, または,x の係数が 5 分の 2 ではなく 1 だったら良いのに と考えたかもしれません。 それがまさに今から やろうとしていることです。 もし,この方程式の両辺に 2 分の 5 をかけたらどうなりますか? なぜ 2 分の 5 をかけるのでしょうか? なぜかと言うと, 気づいた人もいるでしょうが 2 分の 5 を 5 分の 2 にかけると 1 になるからです。 5 かける 2 は 10 で, 2 かける 5 も 10 です。 すると,10 分の 10 となり, つまり 1 です。 または, 5 と 5 を約分して 1, 2 と 2 を約分して 1 という やり方でも良いです。 これは魔法のように 見えるかもしれません。 なぜ 2 分の 5 と わかったのでしょうか? 2 分の 5 は 5 分の 2 の逆数です。 かけると 1 になる数を 逆数と言います。 逆数は,分子と分母を ひっくり返せば得られます。 では,どうして右辺にも 2 分の 5 をかけるのか? それは,方程式の左辺に何かをしたら 等しくなくなるからです。 すると,左辺は係数が 1 になり, x だけが残ります。 すると,x イコール 10 かける 2 分の 5 です。 それはつまり 1/2 が 50 個の意味で, 2 分の 50 と書くことができます。 それはつまり 25 と同じです。 別の例題もやってみましょう。 次の方程式は 14 = 7/3 b だとしましょう。 これが自分でできるか考えてみて下さい。 これも同じように 変数 b の係数が 3 分の 7 ではなく 1 だったら良いですね。 b = の形にできれば嬉しいです。 もうやり方は分かっていると思います。 方程式の両辺に b の係数の逆数をかければ良いです。 つまり 3 分の 7 の逆数です。 3 分の 7 の逆数は何ですか? 逆数は,分母と分子を 入れかえたものです。 分母は割る数なので, それを分子に持っていけば, かける数になります。 もし 7 で割っているのならそれに 7 をかければ 1 になります。 これがなぜひっくり返すかの理由です。 機械的にひっくり返せばいいと いうのではなく理由を考えましょう。 この逆数は 7 分の 3 です。 そして,もちろん,片方の辺だけに 何かをすることはできないので 両辺に同じことをします。 すると,方程式の右辺は 3 を 3 で約分,つまり 3 割る 3 は 1。 7 を 7 で約分,つまり 7 割る 7 は 1。 これらは全部キャンセルされて 1 になり, 1 b なので b だけが残り, 左辺は 7 分の 3 かける 14 です。 この 14 は 14/1 と同じです。 14 割る 1 は 14 です。 そうすると分子は 3 かける 14 で, 分母は 7 かける 1 ですが, ここで分子と分母を 7 で 約分しましょう。 するとこれは 2 で, こちらは 1 になります。 すると分子には 3 かける 2 が残り, 分母には 1 かける 1 が残り 計算すると 6 です。 もう 1 問例題をやりましょう。 そうですね。 1/6 a = 2/3 をやってみましょう。 これを解いて a を求めるには どうしたら良いでしょうか? この問題も同じように この 1/6 が 1 になったら嬉しいです。 そうするには 6 をかければ良いです。 1/6 を 6 個集めれば 1 です。 また,確認のために言っておきますが, 6 は 1/6 の逆数です。 6 は 6 個の全体ということですから, 1 分の 6 と書くこともできます。 これらをかけ算すると 1 です。 すると,左辺は a だけになり, もちろん,左辺だけに 6 を かけることはできないので 右辺にも同じように 1 分の 6 をかけます。 すると,a は何に等しいかと言うと, 分子が 2 かける 6 で, 分母が 3 かける 1 です。 3 分の 12です。 ただし,約分をすると, 6 と 3 は両方とも 3 で割り切れます。 6 割る 3 は 2 で, 3 割る 3 は 1 です。 分子は,2 かける 2 で 4, 分母は,1 かける 1。 すると答えは,1 分の 4, つまり,4 です。 できました。