メインのコンテンツ
代数入門
1 ステップの割り算の方程式
このレッスンでは簡単な代数方程式を体系的に解く方法を学びます。ここでは 7x = 14 のような方程式の意味を理解することに焦点を当てます。そして変数を分離するために係数で方程式の両辺を割るような手法を使います。この方法は,未知の変数の値を求め。代数をより簡単かつ親しみやすくする手助けになります。 Sal Khan により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
7 かける x が 14 に等しい
という方程式があります。 この方程式を解こうとする前に これが本当はどんな
意味なのかを 少し考えてみたいと思います。 7x が 14 に等しい。
これは… これと同じことは
7 かける x が,… ちょっとこう書いてみます… 7 かける x が,x は
またオレンジにします。 7 かける x が 14 に等しい。 あなたはこれを頭の中だけ
でもできるかもしれません。 かけ算の 7 の段を
通してみると 7 × 1 が 7,それは違って, 7 × 2 = 14,ですから 2 です。 しかし,このビデオでは
これをもっと システム的に解く方法を
考えたいと思います。 なぜなら,問題が難しくなると, 頭の中だけでは
解けなくなるからです。 逆に言うと頭の中だけで
解けないような 難しい問題のほうが大事です。 本当に重要なのは
これらの方程式を理解して 操作することができることです。 本当の問題を解くときは, 計算はコンピュータで
やれば良いです。 しかし,その時はあなたが
問題を理解して コンピュータを使う必要がある
ので,こんなことを習うわけです。 これは 7 かける x が
14 に等しいと言っています。 代数では,「かける」の
記号を書きません。 数と変数をこんなふうに
隣に書く場合, それはかけ算を意味します。 これは短く書く記法です。 一般に,「かける」の
記号は使いません。 なぜなら,混乱するかです。 x は代数で一番良く
使う変数ですが もし私がたとえば,7 かける
x イコール 14 を こんなふうに書くと, かけるの記号が
少し変な x に見えます。 「xx」 とか,「かけるかける」
とかに見えてしまいます。 ですから一般に方程式を扱う時, 特に 1 つの変数が x の場合, 伝統的な「かける」の記号は
使わないでしょう。 他に(かけ算の記号として)
ドットを使う記法もあります。 7 ・ 14 と書いて
かけ算を表すこともあります。 しかしこれもまたそんなに
普通ではありません。 何かかける変数の場合, 単純に 7x のように書きます。 これは 7 かける x の意味です。 さて,この方程式の解き方を
理解するために, これを可視化してみましょう。 7 かける x,それは何ですか? これと同じものは,…
これの方程式を 目に見えるように
書きなおします。 すると 7 かける x です。 これは x 自身を 7 回
たすという意味です。 それはかけ算の定義です。 すると,x たす x たす x
たす x たす x,そうですね。 これで 5 個 (の x) です。
たす x たす x です。 するとここにあるものは
7 個の x です。 ここにあるものは 7x です。 これを書き直しましょう。 ここにあるものが 7x です。 では,この方程式は 7x が
14 に等しいと言っています。 すると,これが 14
に等しいです。 14 個のものを右辺に描きましょう。 すると,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 個です。 すると,7x が 14 個の物と
等しいと言っています。 これらは等価な文です。 これがなぜ私がこう書いた
理由です。 こうすることで,両辺を
7 で割る意味を 本当に理解できるのでは
ないかと思います。 ちょっとこれは消しておきましょう。 おっと,…
こうしたいのではないです。 こうしましょう。最後の丸を
描きたしておきます。 一般に,方程式を簡単化して, かける数を変数の係数にします。 すると,ある特定の数
かける変数,これを 係数かける変数とも言いますが, これが何かに等しいと書きます。 ここでこの場合にしたいことは,
両辺を 7 で割ることです。 両辺をこの係数で割ります。 両辺を 7 で割るとどうなりますか? 7 かける何か割る 7 は, もとの何かに戻ります。 7 はキャンセルされて,
そして 14 割る 7 は 2 です。 すると,x が 2 に
等しいとなります。 これをもっと具体的に
分かるようしたいので, この方程式の両辺を
7 で割った時にどうなるか 文字通り両辺を 7 で割る
ことをこちらでやってみましょう。 これが方程式です。 これは,これとこれが, 左辺と右辺が
等しいと言っています。 左辺に何かをしたら,右辺にも
同じことをする必要があります。 もし最初に 2 つの物が等しい時, 片方だけを変えると,
等しくなくなってしまうからです。 これらは同じものです。 では,左辺を 7 で割ることを, 7 個のグループにわけて
やってみましょう。 すると,1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 個のグループに分けました。 7 個のグループに分けました。 もしこれを 7 個のグループ
に等しく分けると, 右辺も 7 個のグループに
分けるひつようがあります。 すると,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。 もしこれ全体が,
こちら全体と等しいなら, これらの細かく分けた小さな
部分のそれぞれも, この小さな部分のそれぞれも, こちらの小さな分けた
部分に等しくなるはずです。 するとこの部分は,
この部分と等しくて, この部分も,こちらの部分に
等しlくなります。 これらは皆等しい部分です。 するとそれぞれの x は, これらの物 2 個に等しい
ことがわかります。 x がこの 2 個 (に等しい) です。 この物,1 個,2 個と
等しいとわかります。 ですから x は 2 に等しいです。 さて,さらにいくつかの例をやって, 方程式を扱うのに
慣れたいと思います。 そしてどんな操作でも
方程式の片側にしたら, もう一方の側にもする
必要があります。 ちょっと下にスクロールして… では,3x が 15 に
等しいとしましょう。 これも頭の中でも
できるかもしれません。 3 かける何かが 15 に
等しいと言えます。 3 の段を通してみて,
わかるかもしれません。 しかし,これをシステム的に
解きたいと思ったら, そしてシステム的に
理解する方が良いです。 この左辺のものは
この右辺のものに等しい。 これで左辺を x だけに
するには, 何をしたらいいでしょうか? x だけにするには,これを 3 で
割れば良いでしょう。 なぜそうするかというと,
3 かける何かを 3 で割れば, 邪魔な 3 を消すことができて,
x だけにできるからです。 すると,3x が 15 に等しいです。 もし,左辺を 3 で割った時,
等しいことを保つためには, 右辺も同じく 3 で割る
必要があります。 こうするとどうなりますか? 左辺には x だけが残ります。 これは,x だけになりました。 そして右辺の 15 割る
3 は何ですか? 15 割る 3 は 5 ですね。 この方程式を少し違った
方法でも解くことができます。 ただし,実際には同じことです。 もし 3x が 15 に
等しいから始めると, 3 を消したければ,
3 で割る代わりに, この方程式の両辺に 1/3 を
かけることでもできます。 この方程式の両辺に 1/3 を
かけても上手くいくはずです。 1/3 かける 3 は 1 です。 ここの部分をかけ算すると,
1/3 かける 3 は, 1 ですから 1x です。 これが 15 かける 1/3 に等しく,
それは 5 に等しいです。 1 かける x は x と同じです。 すると,これは x が 5 に
等しいということです。 これらは見た目は
ちょっと違いますが 実はまったく同じことを
しています。 もし両辺を 3 で割ると, それは両辺に 1/3 を
かけることと等価です。 さて,もう 1 問解いてみましょう。 もうちょっと複雑なものを
やってみたいと思います。 変数も変えてみましょうか。 では,2y たす 4y が
18 に等しいとします。 こうすると突然,頭の中だけで
するのが難しくなりました。 2 かける何かたす 4 かける
同じ何かが 18 に等しいという式です。 この数が何かを考えるのが
ちょっと難しくなりました。 適当にやってみてもいいでしょう。 (適当に) 2 かける 1 たす
4 かける 1 と考えてもいいのですが, もっとこれをシステム的に
やってみましょう。 数をあてずっぽうで入れていても,
答えがわかるかもしれませんが, システム的にやってみます。 2y があります。
これはどういう意味ですか? 2y とは,2 個の y があって
たされているという意味です。 ですからこれは
y たす y の意味です。 そして,さらに 4y をたしています。 それはどういうことかというと, 4y というのは 4 個の y たしたもの。 y たす y たす y たす y
だということです。 そしてこれが 18 に等しいです。 これが 18 に等しいです。 さて,この左辺には
いくつの y がありますか? いくつの y がありますか? 1, 2, 3, 4, 5, 6 個の
y があります。 これは 6y と簡単化できます。 そしてそれが 18 に等しいです。 これは,2 個の y たす 4 個の
y で,それは 6 個の y です。 それで 2y たす 4y は 6y で,
意味が通ります。 もし 2 個のリンゴがあって,
4 個のリンゴをたせば, 6 個のリンゴになります。 もし 2 個の y があって,4 個の
y があれば,6 個の y になります。 それが 18 に等しいです。 さて,これでこれをどう解くか
わかったら嬉しいです。 もし 6 個の何かがあり,
それが 18 に等しいならば, この方程式の両辺を 6 で割ると, この何かについて
解くことになります。 左辺を 6 で割り,
右辺も 6 で割る。 すると,y が 3 となります。 これは検算もできます。 それが方程式の素敵なところです。 いつでも正しい答えになった
のかどうか確かめられます。 やってみましょう。 2 かける y が 3 です,
たす 4 かける y が 3 です。 これは何に等しいでしょうか?
2 かける 3,これは ここにあるものは 6 です。 そして 4 かける 3 は 12 です。 そして,6 たす 12 は確かに
18 に等しいです。 上手くいきました。