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1 ステップの方程式の直感

この数学のレッスンでは,未知の質量を持つつりあいのとれた天秤の問題を解く方法を学びます。代数方程式 3x = 9 を使って問題を表します。ここで x は未知の質量です。 両辺を 3 で割ることで,x=3 が求まります。つまり,それぞれの物体の質量は 3 キログラムという意味です。 Sal Khan により作成されました。

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ビデオのトランスクリプト

さてもう一度,3 個の 等しい物体があります。 それぞれの質量が同じことが わかっていますが, それぞれの質量が 何かはわかりません。 しかし,これらの質量の合計は, こちらの右にある 9 個の物体の 合計とちょうど同じです。 黄色の箱のそれぞれの質量は 1 キログラムとしましょう。 ですから合計は 9 キログラムです。 そしてこちらには 3 個の 物体があります。 これらは皆同じ質量です。 しかしそれが何かはわかりません。 そこでその質量を x とします。 そして今回は,この問題をもう少し 記号的に解きたいと思います。 前のビデオでは, こちらに 1/3 をかけて, この右側にも 1/3 をかけたら いいじゃないかとしました。 基本的に,この天秤をつり あったままにしておきたいので, 2 つの同じ質量のそれぞれの 1/3 をとりました。 この合計は,こちらの 合計と同じです。 それがこの天秤が つりあっている理由です。 さて,これを記号で表すには どうしたらいいかを考えましょう。 まず最初に考えたいことは, 質量 x のこれらの 3 個のものの合計と, 右側にある質量の合計を 等しいとするような方程式を 立てられないかということです。 これを方程式として 表現できるでしょうか? 少し時間を上げましょう。 さて,考えてみましょう。 こちらには,質量 x の ものが 3 個あります。 その合計を書くと, それは x + x + x です。 そしてこちらには,1 キログラム の質量が 9 個あります。 すると,1 + 1 + 1。 これで 3 です。 + 1 + 1 + 1 + 1… いくつありますかね? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 個です。 これは数学的な表現です。 このように方程式を立てると, それは代数的な 表現でもあります。 ただしこれは一番簡単な 形とは言えません。 それでもこれは正しい表現です。 そうしたければ,そうですね。 x が 3 つあれば,3x です。 ですからこれを 3x と 書き直します。 そしてこの 3x は 何に等しいですか? これらの 1 を全部 たせば,1 + 1 + 1 … 9 個あるので, 9 になります。 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 正しいです。 するとこれがどう 方程式を立てるかです。 次の質問は,これを じゃあどうするか? です。 数学的に何ができますか? 実はどちらの方程式でも いいのですが, 下の方 (下の方程式) を 考えることにします。 基本的に x について解くには 数学的に何が できるかを考えます。 この謎の質量が何かを 求めるということです。 ちょっと考えてみて下さい。 では,前回この天秤で やったことですが, 3 個の x がここにあります。 こちら側に x を 1 個だけにしたいです。 天秤がつりあいを取れたままに x を 1 個にできれば, x は右にあるものと 同じになるはずです。 そこでここの 2 個の x をひいてしまおうと 思うかもしれませんが, それは上手くいきません。 ここで数学的にそれを 見ることができます。 もし 2 個の x を 両辺からひくと, 左辺は 3x - 2x で, 右辺は, 9 - 2x になります。 3 個の何かかから 2 個の何かをひけば, 1 個の何かが残ります。 すると x だけが残りますが, しかし右辺は 9 - 2x になりました。 すると,x がこちらにまだ あって上手くいきません。 右辺に謎の質量が 残ったままです。 その代わりにできることは, 前回もしたことですが, これらを 1/3 に したらどうだろうか? もしこちらの 1/3 をとり, こちらも 1/3 をとると, 両側に同じ質量が あるはずです。 数学的にそれと 同じことをするには, 両辺に 1/3 を かければ良いです。 他の言いかたをすると, 両辺を 3 で割ります。 1/3 をかけるということは 3 で割ることと同じです。 こちらにも 1/3 をかけましょう。 両辺に 1/3 を書けることを, こちらで目に見えるようにしましょう。 3 個の x があって, 1/3 をかけると, x が 1 個だけ残ります。 1 キログラムの箱 9 個があり, それに 1/3 をかけると, 3 個だけが残ります。 こちらでも,もっと 視覚的にできそうです。 3 で割ると,つまり 1/3 を かけることと同じですが, それはこんなふうに 3 つで分けます。 ここも 3 つに分けます。 すると,x は 1 + 1 + 1 と等しいです。 x は 3 に等しい。 ここで見るように, この x も 3 に等しい。 こちらでは数学的に やっていますが, 1/3 かける 3 は 1 に等しい。 1 かける x で,x です。 それが等しいのは 9 かける 1/3 で, それを 9 割る 3 と 見てもいいです。 それは 3 に等しいです。