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積の指数法則

数が互いに乗算されたときに指数を簡単化する方法を学びましょう。(a*b)^c は a^c*b^c と同じこと,a^c*a^d は a^(c+d) と同じこと,(a^c)^d は a^(c*d) と同じことを学びます。また,これらの 3 つの性質に基づいた例題を解きます。 Sal KhanCK-12 財団 により作成されました。

ビデオのトランスクリプト

このビデオでは指数法則を 含む例題を たくさん解いてみたいと思います。 しかしその前に,そもそも 指数というものが何か 少し復習しておきましょう。 では,2 の 3 乗があるとしましょう。 もしかしたら,あなたはこれは 6 だと 言いたいかもしれません。 しかしそれはいいえです。 これは 6 ではありません。 この意味は 2 自身を 3 回 かけるという意味です。 ですからこれは 2 かける 2 かける 2 に等しいです。 これが等しいのは 2 かける 2 は 4 で, 4 かける 2 は 8 に等しいです。 もし 3 の 2 乗が何かと尋ねると, または,3 の平方が何かと言うと, これは 3 自身を 2 回かけることで, 3 かける 3 に等しくなります。 それは 9 に等しいです。 もう 1 つこういうものをやってみましょう。 もしこれをまだ見たことが なかったとしても, なんとなく感覚が つかめてくるかと思います。 では,何か,... 5 の 7 乗を考えてみましょう。 これは 5 自身を 7 回 かけたものです。 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 かける 5 です。 これで 7 回? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 回です。 これはとてもとてもとても 大きな数になります。 ここではこれを計算はしません。 もし手でやってみてければ 試してみて下さい。 または計算機を使いましょう。 しかしこれは本当に本当に本当に 大きな数になります。 あなたは,指数というものが とても速く増えることをすぐに 感じるようになるでしょう。 もし 5 の 17 乗となるともっと もっともっと大きな数になります。 とにかく,これは指数の復習です。 ではちょっと指数を使った 代数を考えましょう。 では 3x,違う色を使いましょう。 3x かける 3x かける 3x は 何になるでしょうか? そうですね。かけ算について あなたが覚えている必要のあることは, かけ算の順番は関係 ないということです。 するとこれは,3 かける 3 かける 3 かける x かける x かける x と 同じだと言うことです。 ここまで復習したことに基づくと, ここにある 3 かける 3 かける 3 は,3 の 3 乗です。 そしてこちらの部分は x 自身を 3 回かけていますので, x の 3 乗です。 するとこの全体は,3 の 3 乗かける x の 3 乗と書くことができます。 または,3 の 3 乗が 何かを知っていれば, それは 9 かける 3 で,27 です。 ですから 27 x の 3 乗です。 さて,あなたは,これは 3x かける 3x かける 3x じゃないの? つまり 3x の 3 乗じゃないの? と聞く かもしれません。そうでしょう? 3x 自身を 3 回かけています。 それに私は,「はい,そのとおりです」, と言います。 するとこれは,ここにあるものは, 3x の 3 乗と解釈できます。 いままた指数法則の一つにであいました。 注意してください。 何かと何かの積があって, その全体の 3 乗がある時, それはこれらそれぞれの 3 乗の積に等しいです。 すると 3x の 3 乗は 3 の 3 乗かける x の 3 乗に等しく,それは 27 かける x の 3 乗です。 ではもう少し例を見ていきましょう。 もし 6 の 3 乗かける 6 の 6 乗があるとどうなりますか? それはとても大きな数に なりますが, ここでは私は 6 のベキの まま書きます。 ちょっと 6 の 6 乗は 違う色で書いておきましょう。 6 の 3 乗かける 6 の 6 乗は, 何に等しくなりますか? そうですね。6 の 3 乗は 6 自身を 3 回かけています。 すると 6 かける 6 かける 6 です。 そしてそれにかける,・・・ この「かける」は緑にしましょう。 いや,多分,オレンジの方が いいでしょうか。 これかける 6 の 6 乗です。 6 の 6 乗とは何でしょうか? それは 6 自身を 6 回 かけたものです。 ですから 6 かける 6 かける 6 かける 6 かける 6, これで 5 個ですからあと 1 個, 6 です。 これ全体は何になりますか? そうですね。これ全体は 6 自身を, 何回かけているでしょうか? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 回です。 ここには 3 回,こちらには 6 回あります。 すると 6 自身を 9 回かけています。 3 たす 6 回かけています。 するとこれは 6 の 3 たす 6 乗です。 または 6 の 9 乗です。 ここでもまた,もう一つの 指数法則に出あいました。 指数をとる場合,この 場合 6 の 3 乗で, この数 6 が基数です。 この基数の指数が 3 です。 同じ基数の 2 個の 指数をかける場合, その指数をたすことができます。 もう少しこの例を見ていきましょう。 これはマジェンタ色で書きましょう。 2 の 2 乗かける 2 の 4 乗 かける 2 の 6 乗があるとしましょう。 ここの基数は全部同じですから, ですから指数部分を たすことができます。 これは 2 の 2 たす 4 たす 6 乗に等しいです。 それは 2 の 12 乗に等しいです。 この意味が通るといいです。 なぜなら,ここでは 2 自身が 2 回,2 自身が 4 回, 2 自身が 6 回かかっています。 これらを全部かければ,2 自身は 12 回かかっていますので 2 の 12 乗です。 ではもう少し変数を使って 抽象的に考えてみましょう。 しかしそれでも考えは まったく同じです。 x の 2 乗,または x の平方 かける x の 4 乗は何でしょうか? さっき見た法則を使ってみましょう。 ここにはまったく同じ基数 x があります。 すると x の 2 たす 4 乗になります。 それは x の 6 乗です。 もし私を信じられない場合は, x の 2 乗は何ですか? それは x かける x に 等しいです。 それにかけることの, x の 4 乗です。 それは x 自身を 4 回かけます。 ですから x かける x かける x かける x です。 x 自身を何回かけていますか? 1, 2, 3, 4, 5, 6 回です。 x の 6 乗です。 では同じようなものを もう一つ考えてみましょう。 より多くの例題を見れば, よりわかると思います。 では他の指数法則も見てみましょう。 これまでのものを混ぜたものです。 a の 3 乗の 4 乗があるとしましょう。 まずここでは法則を言って,それが なぜかをおみせしましょう。 何かの指数があって, その指数がある場合, 指数部分をかけ算できます。 するとこれは a の 3 かける 4 乗, a の 12 乗に等しくなります。 どうしてこれが意味が 通るのでしょうか? そうですね。これは a の 3 乗自身を 4 回かけています。 するとこれは a の 3 乗かける a の 3 乗 かける a の 3 乗かける a の 3 乗です。 すると,同じ基数があるので, 指数部分をたすことができます。 するとこれは 3 かける 4 に なるでしょう。 これは a の 3 たす 3 たす 3 たす 3 乗です。 これは a の 3 かける 4 乗, つまり a の 12 乗です。 ではこのビデオでこれまでに見た 指数法則の復習をしましょう。 ただ,何が指数かというのは もう良いでしょう。 もし x の a 乗かける x の b 乗があった場合, これは x の a たす b 乗に 等しいです。 それはここで見ました。 x の 2 乗かける x の 4 乗は x の 6 乗,2 たす 4 乗に等しかったです。 また,x かける y の a 乗がある時には, これは x の a 乗かける y の a 乗と同じです。 それもこのビデオの前の方で 見ました。ここです。 3x の 3 乗は 3 の 3 乗かける x の 3 乗と同じです。 それはここで言っている ことと同じです。 3x の 3 乗は 3 の 3 乗かける x の 3 乗と同じです。 そしてさっき見た最後の法則ですが, x の a 乗の,これ全体の b 乗というのは, x の a かける b 乗に等しいです。 それはここで見ました。 a の 3 乗の 4 乗は, a の 3 かける 4 乗,a の 12 乗に等しいです。 ではもっと複雑な問題を解くために, これらの法則を使っていきましょう。 もっと複雑な問題を解いてみます。 そうですね。たとえば,何がいいで しょうか? 2xy の 2 乗かける, (-x 2 乗かける y) の 2 乗かける 3 x の 2 乗 y の 2 乗です。 これを簡単化 したいと思います。 どこから始めたらいいでしょうか。 多分この真ん中がいいでしょう。 これは -1 かける x の 2 乗かける y 全体の 2 乗とみることができます。 そしてこれ全部を 2 乗するということは, これらのそれぞれを 2 乗するということです。 するとここのこの部分は -1 の 2 乗かける x の 2 乗の 2 乗かける y の 2 乗です。 もしこれを簡単化すると, -1 の 2 乗は単に 1 で, x の 2 乗の 2 乗は, さきほどやったように,指数を かければ良いですから, x の 4 乗でそれに y の 2 乗です。 これがこの真ん中の項を 簡単化したものです。 そして,これを他の 部分とあわせます。 他の部分は 2xy の 2 乗と あとは 3x 2 乗 y の 2 乗です。 これであとは全部を かければ良いです。 かけ算について習ったことですが, かけ算はどんな順番で 計算してもかまいません。 ですから単に並びかえましょう。 これは,2 かける x かける y の 2 乗かける x の 4 乗かける y の 2 乗かける 3 かける x の 2 乗かける y の 2 乗です。 これを並びかえることができるので, 私は簡単に簡単化できるように 並びかえたいと思います。 まずは 2 かける 3 があります。 それから x の項があります。 x の項,それはこの色で書きましょう。 x かける x の 4 乗 かける x の 2 乗があります。 それから次は y の項です。 かける y の 2 乗 そしてもうひとつ y の 2 乗があって, もうひとつ y の 2 乗があります。 ではこれは何に等しくなるか? 2 かける 3 はもうわかっています。 それは 6 に等しいです。 x かける x の 4 乗 かける x の 2 乗は, 1 つ思い出して欲しいのは, x は x の 1 乗と同じということです。 どんな数でもその 1 乗はその数です。 すると,2 の 1 乗は単に 2 です。 3 の 1 乗も単に 3 です。 するとこれは何に 等しくなるでしょうか? これが等しいのは,・・・。 ここには同じ基数 x があります から指数をたすことができます。 x の 1 たす 4 たす 2 乗です。 このたし算は次の ステップでやりましょう。 それから y です。y は y の 2 たす 2 たす 2 乗です。 ではこれは何になるかというと, それは 6 かける x の 7 乗, かける y の 6 乗です。 また,もう知っていること かもしれませんが, 興味あることを 1 つ考えて欲しいです。 それは何かの 0 乗は 何になるかという質問です。 7 の 0 乗は何に 等しくなりますか? これは何かというと, もしかしたら直感に 反するかもしれませんが, これは 1 に等しいです。 1 の 0 乗も 1 に等しいです。 0 でない数,ここで 0 でないと いうのが重要なのですが, 0 でない数はどんな数でも, その 0 乗は1 に等しくなります。 なぜそうなのか,ちょっとした 直感の手助けをあげましょう。 こういうふうに考えてみて下さい。 3 の 1 乗,指数だけ 書いてみましょう。 3 の1 乗,2 乗,3 乗を考えます。 ここでは数 3 を使ってみます。 3 の 1 乗は 3 です。 これは意味が通ると思います。 3 の 2 乗は 9 です。 そして,3 の 3 乗は 27 に等しいです。 もちろん,ここでは 3 の 0 乗が 何かを求めようとしています。 ちょっと考えてみて下さい。 毎回指数が減るとどうなるか, 毎回指数が 1 減ると,3 で 割っていることになります。 27 から 9 に行くには 3 で割ります。 9 から 3 に行くには 3 で割ります。 するとこの指数から この指数に行くには, やはり 3 で割るべき かもしれません。 これは証明ではありませんが これが何かの 0 乗が, 1 になる理由です。 次のビデオでお会いしましょう。