負の指数

負の指数の基礎の復習をして，いくつかの練習問題を解きます。

負の指数の定義

負の指数は，同じ基数を負の指数の反数乗したときの逆数として定義されます。

x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}

この定義についてもっと学びたいですか? このビデオをチェックしてみて下さい。

問 1

等価な式を選びましょう。

4^{- 3} = ?

もっとこれらのような問題を解いてみたいですか? この練習問題をチェックしてみて下さい。

では，なぜ負の指数をこのように定義するのでしょうか? ここではその正当性をいくつか紹介します。

2^{n}

は

2

で割るたびに

n

が減っていく様子に注意してください。このパターンはたとえ

n

が 0 でも負の数であっても続きます。

\frac{x^{n}}{x^{m}} = x^{n - m}

であることを思い出しましょう。すると...

\begin{aligned} \frac{2^{2}}{2^{3}} & = 2^{2 - 3} \\ = 2^{- 1} \end{aligned}

次のこともわかっています。

\begin{aligned} \frac{2^{2}}{2^{3}} & = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

すると

2^{- 1} = \frac{1}{2}

を得ます。

また，

x^{n} \cdot x^{m} = x^{n + m}

も思い出しましょう。すると...

\begin{aligned} 2^{2} \cdot 2^{- 2} & = 2^{2 + (- 2)} \\ = 2^{0} \\ = 1 \end{aligned}

定義の方でも確認しましょう。

\begin{aligned} 2^{2} \cdot 2^{- 2} & = 2^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} \\ = \frac{2^{2}}{2^{2}} \\ = 1 \end{aligned}

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