実例: 負の数の立方根

-512 の 立方根 (3 乗根) を 求めましょう。 これについて考える一つの方法は， もし何か数があって， それが -512 の 立方根に 等しいということです。 これは，もしその数をとって， その 3 乗を考えれば， -512 になるということです。 そしてもしあなたが，立方根が 何かすぐわからない場合は， または，何を 3 乗したら -512 に なるのかすぐわからない場合， 一番良い方法はこの 素因数分解をすることです。 ただ，これを素因数分解をする前に， 少なくとも 3 回出てくる 因数が何かを見てみましょう。 まず負の部分を考えてみます。 -512 ですが，これは，・・・ この式を書き直してみましょう。 これは立方根の -1 かける 512 と同じです。 そしてこれは -1 の立方根， かける 512 の立方根。 そしてこちらは素直に 答えられます。 もし 3 乗したら -1 になる 数は何ですか? そうですね。-1 です。 ここにあるものは -1 です。 (-1) の 3 乗は -1 かける -1 かける -1 かけるで， それは -1 に等しいです。 すると -1 の立方根は -1 に等しいです。 すると -1 かけるここにあるものです。 512 の立方根。 これが何になるか 考えてみましょう。 この素因数分解をしてみます。 512 は 2 かける 256 です。 256 は 2 かける 128 です。 128 は 2 かける 64 です。 もう 2 が 3 回でてきました。 64 は 2 かける 32 です。 32 は 2 かける 16 で， 2 がたくさんでてきます。 16 は 2 かける 8。 そして，8 は 2 かける 4 です。 4 は 2 かける 2 です。 たくさんの 2 が出てきました。 基本的に，2 を 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 回かければ，512 になります。 または 2 の 9 乗が 512 です。 これ自身でもうこの立方根が 何か，というヒントになっています。 しかしこれを考える もう 1 つの方法ですが， 繰り返しがみつけられるか・・・。 ここには確実に 2 が 3 回あります。 しかし，3 個の 2 のグループが みつけられるか， ちょっとこんなふうに見てみましょう。 2 個の 2 のグループが ここに 3 個あります。 するとこれは 2 かける 2 で 4 で， これも 2 かける 2 で 4 で， すると確実に 4 を 3 回かけた ものは，これを割り切ります。 しかしもっと良いことに，3 個の 2 の グループが 3 個あります。 これが 1 個目のグループ，そして， これが 2 個目のグループ， そして 3 個目のグループです。 これらのグループのそれぞれが， 2 かける 2 かける 2 で，8 です。 8 です。 これも 2 かける 2 かける 2 で， 8 です。 これも 2 かける 2 かける 2 で， 8 です。 すると 512 は 8 かける 8 かける 8 に等しいです。 するとここにあるこの式を 8 かける 8 かける 8 の立方根と 書き直すことができます。 するとこれは -1，あるいは単純に マイナスの符号だけ書いて， マイナスの立方根の 8 かける 8 かける 8。 すると問題は，それ自身を 3 回かけると または 3 乗すると 512 に なる数は何か，がわかればいいです。 すると，512 は 8 かける 8 かける 8 と同じですから， これは明らかに 8 です。 するとこの部分が 8 になります。 するとこの答え，-512 の 立方根はというのは -8 です。 これで，できました。 これは確認できます。 -8 を 3 回かければいいです。 やってみましょう。 -8 かける -8 かける -8 です。 -8 かける -8 はプラスの 64 で， それに -8 をかければ，-512 です。