べきの乗算 & 除算 (整数指数)

では少し指数法則の 練習をしましょう。 ここでは特に整数指数を 考えます。 では，4 の -3 乗 かける 4 の 5 乗は何に 比しいでしょうか? ここでビデオをポーズして， 自分で考えてみて下さい。 これを解く方法はいくつかありますが， 基数の同じ指数を 2 個 かけているので， この場合基数 4 をとって， その指数をたします。 すると， -3 たす 5 乗になります。 それは 4 の 2 乗に等しいです。 これは指数法則をそのまま 使ったものですが， なぜこうすると意味が 通るのかも考えましょう。 4 の -3 乗というのは， 4 の 3 乗分の 1 と同じです。 またはこれを 1 割る 4 かける 4 かける 4 と 考えることもできます。 そして 4 の 5 乗があります。 それは 5 個の 4 が かけられています。 かける 4 かける 4 かける 4 かける 4 かける 4 です。 気がついたと思いますが， これらをかければ， 5 個の 4 が分子で， 3 個の 4 が分母になるので， 分母の 3 個の 4 と分子にある 3 個の 4 がキャンセルされます。 これらがキャンセルされます。 すると残ったのは， 5 ひく 3 個， または -3 たす 5 個の 4 です。 するとこれは 4 かける 4 で， それは 4 の 2 乗と同じです。 すなおだと思います。 では，変数でもやってみましょう。 a の -4 乗かける a の 2 乗にしましょう。 これは何になりますか? ここでもさきほどと一緒で， 同じ基数の指数のかけ算です。 この場合，基数は a です。 これらをかけ算しているので， 指数部分をたすことができて， a の -4 たす 2 乗になります。 それは a の -2 乗です。 これも先程と同じく 意味が通るでしょう。 ここにあるものは 1 割る a かける a かける a かける a で， そしてこちらは a かける a です。 するとこれとこれ，これとこれが キャンセルされて， 残ったのは 1 割る a かける a で， それは a の -2 乗と同じです。 では商でもやってみましょう。 ではもし… もし 12 の -7 乗， 割る 12 の -5 乗は何かと 尋ねたらどうでしょうか? 指数法則では同じ基数の割り算では， 指数のひき算をするのでした。 するとこれが等しいのは 12 の -7 ひく -5 です。 分母の指数をひくのです。 するとこれは 12 の何かというと，・・・。 負の数をひくということは， たすことと同じでしたから， 12 の -2 乗になります。 これも先程と同じように， なぜこれで意味が通るのかを 考える必要があります。 実はこれは 12 の -7 乗 割る 12 の -5 乗を これを書き直せば， 12 の -7 乗かける， 12 の 5 乗です。 もしこの逆数をとれば，・・・。 ここにある分母の逆数をとれば， 指数は符号が変わって正になります。 それから前の問題と同じように， 積を計算すれば良いです。 では変数でも， もう一問解きましょう。 x の -20 乗割る x の 5 乗があるとしましょう。 ここでも同じ基数 x があって， 商を考えています。 するとこれは x の -20 ひく 5 です。 なぜならこれは分母にあるので 指数をひくことになります。 するとこれは x の -25 乗に等しいです。 もう一度，この元の式を見れば， x の -20 乗があって， 分母に x の 5 乗があるのて， これは x の 5 乗で割っていますけれども， それは x の -5 乗を かけることと同じでした。 こうすれば指数を たせばよいです。 こう考えても同じく x の -25 乗です。