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なぜ 3 で割り切れる数のルールが上手くいくのか

ビデオのトランスクリプト

道を歩いている時に, 誰かがあなたのところに来て, 「早く!早く! 4792,これは 3 で割り切れる? 緊急事態なんだ! いますぐ割り切れるかどうか 知りたいんだ!」と言いました。 運の良いことに,あなたの 数学の道具箱の中に, 3 で割り切れるかどうかを 調べる小さなツールがあります。 あなたは,この (数の) 桁をたして, その合計が 3 で 割り切れるのならば, この数は 3 の倍数だと, 知っています。 4 たす 7 たす 9 たす 2, これは 11 です。(それに) 9 をたすと20, たすことの 2 は 22 です。 これは 3 で割り切れません。 もしこれに自信がなければ, 2 たす 2 として 4 です。 これは明らかに 3 では 割り切れません。 ですからここにあるものは 3 では割り切れない数です。 緊急事態が解決できたのは まったく運がいいことです。 しかし,もう少し道を歩いていたら, 誰かがまたやってきて, 「早く早く早く! 386,802 -- これは 3 で割り切れるの?」 と尋ねました。 もちろんあなたは同じことをします。 3 たす 8 たす 6 たす 8 たす 0 たす 2 を考えます。 3 たす 8 は 11,6 をたすと 17, 8 をたすと 25,たす 2 は 27 です。 27 は 3 で割り切れます。 もしこれに自信がない場合には また 2 と 7 をたして,9 です。 これは明らかに 3 で割り切れます。 したがって,この数も 3 で割り切れます。 あなたはとても気分 が良いことでしょう。 完全に見知らぬ 2 人の人の 緊急事態を救いました。 ある数が 3 で 割り切れるかどうかを とてもとても早くみつける ことができたのです。 しかしちょっとした良心の 呵責があるでしょう。 なぜならこれがなぜ上手くいくのかを まだ知らないからです。 いつもそうだということを 知っているだけです。 ですから,なぜこれが上手く いくのかを考えてみましょう。 これを考えるために, 1 つ適当な数をとります。 これは何でもいいです。 単に常識的な範囲の数を 何か 1 つ考えてみます。 それを 498 にしてみましょう。 これは文字通りどんな 数でもかまいません。 そしてこのツールが,なぜ上手く いくのかを考えましょう。 498 を書き直してみます。 4 を書き直します。 それは 100 の位にありますから, 4 かける 100 と書くことができます。 それは 4 かける 1 たす 99 と同じです。 これだけです。 この 4 は 100 の位に あるので,400 で, それは,4 かける (1 たす 99) と同じです。 これをこのように書くのは 1 たす,なにか 3 で割り切れる ものと書きたかったからです。 99 は 3 で割り切れます。 もしもっと桁があった場合, 999, 9999 のように何でも 3 で割り切れるもの として書けます。 そしてこれがなぜ 9 で割り切れる (かを調べる) 方法と同じ方法なのか というと,この 99 は 9 で 割り切れるからです。 次の 9 は 10 の位にあります。 それは 90 を示すので, 9 かける (1 たす 9) です。 1 たす 9 は 10 です。 最後にこの 8。これは 1 の位にあります。 8 かける 1, これは単に たす 8 と書けば良いです。 次にこの 4 を分配しましょう。 分配法則で 4 かける 1 たす 4 かける 99。 これは 4 たす 4 かける… いや,そうですね。 次のように書いてみます。 いいや,まずこのように 書いてみます。 4 たす 4 かける 99 の ように書いてみます。 そして同じことをここでやります。 これはたす 9 -- たす,…これはマジェンタ 色にしましょう。 9 たす 9 かける 9,と書きます。 最後に 8 を書きます。 たす 8 と。 これを並べ替えてみます。 最初の項,この項,そしてこの項, 99 と 9 の項を先に書いてみます。 4 かける 99,ちょっと 違った記法ですが, 9 かける 9, これが 2 つの項です。 そして残りの項は 4 たす 9 たす 8。 これは 498 を 書き直しただけです。 ではこれで,3 で割れるか 言えますか? そうですね。これらの項, この最初の 2 つの項は 確実に 3 で割り切れます。 というのは 99 は 3 で 割りきれるからです。 何が前についているかは 関係ありません。 ここは 3 で割り切れて, そしてこの 9 も 3 で割り切れます。 2 番目の 9 の方ですね。 これはまた 3 で割り切れて, それらをたしてもやっぱり, 3 で割り切れます。 つまりこの全部は 3 で割り切れます。 もし先にもう 1 つ桁があれば, 1 たす 999,1 たす 9999 のように 書いて同じことをしたでしょう。 つまりここで本当に心配 しなくてはいけないことは, ここにある部分です。 この部分,この全部の部分が 3 で割れるかどうかというのは, この後ろの 3 つの部分だけが 3 で割れるかどうか だけが重要です。 この部分も 3 で 割れなくてはなりません。 そうすればこの数は 3 で割れます。 しかしここにあるものは何ですか? これらは最初の数の桁です。 498 の 4 と 9 と 8 です。 ですから単に桁の和が 3 で割れるかどうかを 調べればいいのです。