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なぜ 9 で割り切れる数のルールが上手くいくのか

ビデオのトランスクリプト

誰かが道で追いかけてきて, 言いました。2943。 早く! これは 9 で割れる? 早く早く。 生きるか死ぬかの瀬戸際なんだ! そしてあなたは答えます。 「9 で割れるかどうかなら 結構早くわかるよ。 単に全部の桁をたして, その和が 9 で割りきれれば, それは 9 で割り切れる という数だよ。」 ではやってみましょう。 2 たす 9 たす 4 たす 3。 2 たす 9 は 11。 11 たす 4 は 15。 15 たす 3 は 18 です。 18 は確実に 9 で 割り切れる数です。 つまりこれは 9 で 割り切れる数です。 そしてもし 18 が 9 で割り切れるか どうか自信がなければ 同じ桁をたすルールを 適用して, 1 たす 8 は 9 に等しいです。 これは確実に,確実に 9 で割り切れます。 それは 9 ですからね。 そして道で会った人は誰かの命を この情報で救うことができるでしょう。 あなたはこれがなかなか素敵で, 使い出があると思うことでしょう。 しかしなぜこれは上手くいくのでしょうか? これは全部の数でこうなのでしょうか, それとも 9 だけなのでしょうか? 私はこれは 8 とか 7 や 11,17 では上手くいくとは思いません。 なぜこれは 9 で上手くいくのでしょうか? これは実は 3 でも上手くいきますが, それは他のビデオで説明しましょう。 これは,2943 を単に 書き直せばわかります。 2943 の 2 は 1000 の位にあります。 ですから私たちはこれを 文字通り 2 x 1000 ちょっと変わった記号で書きますが, 2 x 1000 と書きます。 9 は 100 の位にあるので, 9 x 100 と書き直せます。 4 は 10 の位にありますから, それは文字通り 4 x 10 です。 最後に 1 の位の 3 があります。 これは単なる 3,あるいは 3 x 1 と書くことができます。 つまりこれは 2000 と 900 と 40 と 3 です。 2943 です。 次にこれらのそれぞれの 1000 と 100 と 10 を 1 たす何か 9 で割り切れるものの 和として書き直すことができます。 1000 は 1 たす 999 と 書き直せます。 1 たす 999,これが 1000 です。 100 は 1 たす 99, 1 たす 99 と書き直せます。 10 は 1 たす 9 です。 そして,2 かける 1000 というのは 2 かける (1 たす 999) と同じことです。 9 かける 100 は 9 かける (1 たす 99) と同じことです。 そして,4 かける 10 も 4 かける (1 たす 9) と同じことです。 最後にこのたす 3 があります。 ここで私は分配法則を使います。 これは...,この部分はこうも言えます。 2 たす 2 かける 999です。 ここにあるこのものは,9 たす... ここでちょっとはっきりさせておきますが, 分配法則はこの 2 を このように分配しています。 最初の 2 つの項は 2 を分配したものです。 次は 9 を分配して, 9 かける 1 で 9, そして 9 かける 99, たす 9 かける 99 です。 次は,… おっとたし算を忘れました。 4 を分配して,4 かける 1, それははたす 4 で, 4 をさらに分配して,4 かける 9, たす 4 かける 9 になります。 最後に,このたす 3 がここにあります。 たす 3。 そしてこのたし算を並び替えます。 ここにある項を全部,9 で確実に 割り切れるものを先に書きます。 これはオレンジ色で書きます。 この項とこの項とこの項を 最初に書きます。 2 かける 999 たすことの 9 かける 99 たすことの 4 かける 9 があります。 そして残った項は,…この 3 つの項を最初に書いたのです。 残った項は,たす 2 と, 次はたす 9, たす 4,そして最後に たす 3 があります。 これは桁をたした数です。 これがここで私たちが ここで書き直したことです。 ここまで来ればもう どうなるのかわかるでしょう。 これらのオレンジのもの, これは 9 で割り切れますか? もちろん割り切れます。 999 は 9 で割り切れます。 ですからそれに何をかけても やはり 9 で割り切れます。 これは 9 で割り切れる。そして, これももちろん 9 で割り切れます。 もちろん,何が 99 に かかっているかは関係なく, 99 が 9 で割り切れるので,これは もう割り切れることは確実です。 これも割り切れます。 そして 4 かける 9 これも割り切れます。 つまりこれらは 9 の倍数に 何かがかかっているものです。 ですからここにあるものは 全部 9 で割り切れるものです。 全体がどうなのか。全体が 9 で 割り切れるかどうかというのは... ここでやったことは,(数を) 書き直しただけですが, この部分はもう 9 で 割り切れますから, 残りの部分が割り切れるか どうかわかればいいわけです。 この残りの部分というのは 桁をたした数です。 ですから,この桁をたした数が (9で) 割り切れれば (全体が) 9で割り切れます。