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因数の組の理解

6 と 16 の因数の組を求めるために面積の理解とかけ算を使いましょう。 Sal Khan により作成されました。

ビデオのトランスクリプト

このビデオでは因数と因数の 組について考えたいと思います。 因数のことを約数という 場合もありますが, ただ後に,因数分解や素因数 分解というものは出てきますが 約数分解とは言わないので, ここではより一般的な因数という 用語を使おうと思います。 ここで因数と言う場合, 一緒にかけあわせるとある整数を 作るような整数のことを言います。 たとえば,もし 6 の因数に ついて考える時は, 2 かける 3 が 6 になると言えます。 すると 2 と 3 が 6 の因数です。 実は 2 と 3 は 6 の「因数の組」 でもあります。 なぜなら,これら 2 つの数を かけると 6 になるからです。 ある数についての異なる 因数の組全部を, 面積として考えることができます。 6 の面積を持つ長方形を どうやったらつくることができますか? たとえば,2 単位の長さかける 3 単位の長さでできるでしょう。 それはこんな感じです。 ちょっと手書きでやってみます。 その長方形はこんな感じだとします。 それは 2 行かける 3 列です。 これらは皆等しい面積の ものだとします。 手書きで正確ではないですが, ここにある面積は 2 かける 3 で, 6 の単位面積に等しいとわかるでしょう。 さて,もし他の方法で 6 の面積が 表せたらどうでしょうか? そうですね。1 行 6 列でも できるでしょう。 それはこんな感じになるでしょう。 こんな感じです。 すると 1 行で,1, 2, 3, 4, 5,... 全部が同じ大きさになる ようにしたいです。 それは 1 かける 6 でも 6 の面積になります。 これはもう一つの因数の組です。 2 かける 3 は 6 に 等しいことを知っていますし, 1 かける 6 も 6 に 等しいとわかっています。 実は 6 の因数の組は これで全部です。 もっと大きな数でも因数の 組を考えることができます。 たとえば,16 の因数の組を 考えることができます。 ぜひここでビデオをポーズして 自分で考えてみて下さい。 ではここに小さな表を作って 考えてみようと思います。 この列には最初の因数, こちらの列には 2 番目の 因数を書きます。 そして私がやってみたいのは, 1 から初めて数を順に 大きくしていって 全部の因数を求めると いう方法です。 では 1 から初めてみましょう。 1 は確実に 16 を割り切ります。 ここで整数について考える場合は 1 はいつも因数で,1 に何をかけると 16 になるかというと, それは 16 です。 するとこれが因数の組の 一つです。1 と 16。 では,2 はどうでしょうか? 16 を 2 で割るとどうなるか? もちろん 2 かける 8 が 16 ですから, それももう一つの因数の組です。 2 と 8 です。 では 3 はどうですか? 3 は 16 を割り切りますか? いいえ,3 かける 5 が 15 で, 3 かける 6 は18 なので 3 は 16 を割り切りません。 すると 3 は 16 の 因数ではありません。 4 はどうでしょうか? 4 かける 4 は 16 です。 するとそれも因数の組です。 4 と 4。 5 はどうですか? 違います。5 かける 3 は 15, 5 × 4 は 20 なので, 5 は 16 を割り切りません。 6 も同じです。6 × 2 は 12 で, 6 × 3 は 18 なので, 16 を割り切りません。 7 はどうですか? 7 も 16 を割り切りません。 7 × 2 は 14, 7 × 3 は 21 です。 8 はどうですか? そうですね。もう 8 が 16 を 割り切るのはわかっています。 もう一つの因数の組として 8 と 2 があると言いたく なるかもしれませんが, それはもう書いてあります。 たまたまここでは 2 が最初の因数で 8 が 2 番目の因数になりましたが, 逆もできるので,8 かける 2 を書く必要はありません。 まだ平方根はやっていないので, ここでは数の半分まで見れば, 全ての因数の組を みつけたといっておきます。 9 より後は… 10, 11, 12, 13, 14, 15 まで割り切りません。 16 は割り切りますが因数の 組の最初に書いてあります。 ですから,これらの 3 個が因数の組です。 1 と 16, 2 と 8, 4 と 4 です。