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GCF (最大公約数) と LCM (最小公倍数) の文章問題

ビデオのトランスクリプト

ウィリアムとルイスは それぞれ他の先生の 物理のクラスをとっています。 ルイスの先生はいつも 30 問の 問題のある試験をします。 一方,ウィリアムの先生は 24 問の問題の ある試験をしますが, 試験と試験の間隔はルイスの 先生よりも短いです。 また,ルイスの先生は年に 3 回の プロジェクトを課題にだします。 これらの 2 つのクラスでは全部の 試験の回数は違いますが, 先生たちは,両方のクラスで -- ちょっと下線をひいて -- 両方のクラスで毎年全部で同じ 数の問題を出すと言っています。 ウィリアムまたはルイスのクラスで, ある年に出題される 最小の試験の 問題数は何ですか? では何が起きているのか 見てみましょう。 ルイスの先生は,30 問の問題を 1 回の試験で出すので 最初の試験では ルイスは 30 問の 問題を解きます。 ここは 0 です。 そして 2 回目の試験では, 彼は 60 問解いたことになります。 3 回目の試験が終わると, 90 問を解くことになるでしょう。 4 回目の後は 120 問です。 そして,5 回目の試験の後は, もし 5 回目の試験が あればですが, 彼は全部で 150 問の問題を 解いたことになるでしょう。 このように 30 の倍数を 続けていくことができます。 これが何を求めようとして いるかのヒントになるでしょう。 私たちは数の倍数を見ていて, そして,最小のものを 求めようとしています。 これがルイス (について) でした。 では,ウィリアムはどうですか? ウィリアムの先生の場合には, 最初の試験で, 生徒たちは 24 問の問題を 解くことになります。 その次には,48 問の問題, 3 回目の試験の後には 72 問になるでしょう。 次は 96 問です。 これは 24 の倍数について 書いているだけです。 そして,5 回目の試験の 後には 120 問になるでしょう。 そして,6 回目の試験の 後は,144 問です。 このように続けていくことができます。 では,問題が尋ねている ことを見てみましょう。 ウィリアムとルイスのクラスが ある年で解く試験の 最小の問題数は 何になるでしょうか? ここでは試験は少なくとも 1 回はあったと考えます。 本当はこれは問題に 書いていないといけないです。 そうでないと両方のクラスで 試験の回数が 0 回でも, 0 問の同じ最小の問題数です。 もし私がこの問題を作って, そういう解答があったら 正解にしないといけないな と思います。 条件を書き忘れた 私が悪いでしょうね。 ですからここでは試験は 1 回はあったとして考えましょう。 最小の数は,一回の試験では 異なる数の問題があるとしても, 両方が全部で同じ数の 試験の問題を出した点, この 120 になります。 両方ともちょうど 120 問の 問題になることがあります。 ルイスの先生が 1 回の 試験で 30 問, ウィリアムの先生が 1 回の 試験で 24 問出したとしても この同じになる 120 問 というのがあります。 注意して下さい。ここでは異なる 数の試験がありました。 ルイスには 4 回,ウィリアムには 1, 2, 3, 4, 5 回の試験がありました。 しかし,両方とも全部で 120 問の問題がでたのです。 さて,ここでちょっと数学の記法, 前に見た最小公倍数の 記法を考えましょう。 これは実は lcm,最小公倍数の 30 と 24 を求めていたのです。 そしてこの最小公倍数は これは 120 に等しいです。 また,最小公倍数を 求める方法として, このように単純に倍数を書く 以外の方法もありました。 これを素因数分解を通して 見ていく方法がありました。 30 は 2 かける 15 ,そして 15 は 3 かける 5 です。 すると,30 というのは 2 かける 3 かける 5 に等しいと言えます。 24 ですが,これはちょっと青で ない他の色を使いましょう。 24 は,これは 2 かける 12 に等しく, 12 は 2 かける 6 に等しい。 そして,6 は 2 かける 3 に等しい。 すると,24 は 2 かける 2 かける 2 かける 3 に等しいです。 最小公倍数を求める他の方法は, もしこの上の倍数の方法を 使わない時は, この数は 30 と 24 の両方で 割り切れなくてはいけない。 その数が 30 で 割り切れるのならば, その素因数分解の 2 かける 3 かける 5 でも割り切れるはずです。 ですから,これは基本的に 30 で, この数が中にあるはずです。 そして,24 で割り切れるためには, 最小公倍数が 24 で割り切れるには その素因数分解には 3 個の 2 と 1 個の 3 が必要です。 ここにはもう 3 が 1 個あり, 2 も 1 個あります。 ですからあと 2 個の 2 が あればいいです。 2 かける 2 が必要です。 これで,ちょっと上にスクロール... うーんと,戻しますか... ここにある部分で 24 で 割り切れるようになります。 するとこれが基本的には, 30 と 24 の 最小公倍数の素因数分解です。 ここからどの数を一つ取り除いても, もうこちらの 2 つの数の両方では 割り切れない数になってしまいます。 もし 2 を 1 個取れば,もう 24 では割り切れませんし, または 2 を 1 個か, あるいは 3 を 1 個, 5 を 1 個とったりすれば, 30 では割り切れなくなります。 ではこれらの数を全部かけると, 2 かける 2 かける 2 は 8 で, 8 × 3 = 24, 24 かける 5 は, これは120 になります。 ではもう 1 問こういう問題を 解いてみましょう。 ウマイマは 21 個のバインダーの 入ったパッケージを 1 つ買いました。 ちょっと印をつけて... そして,彼女は 30 本の 鉛筆の入ったパッケージも 1 つ買いました。 彼女はこれらのバインダーと 鉛筆を全部使って, 同じ文房具の組を彼女の クラスメイトのために 作りたいと思いました。 ウマイマは全部の文房具を使って, 同じ文房具の組を最大でいくつ 作ることができますか? ここには「最大」のとあるので, もしかしたら最大公約数を 考えているのではないかと いうヒントになっています。 また,この問題はものを分けています。 分けるとは,割り算ですから, 約数が関係ありそうです。 これらの両方を,同じ組が最大の 数になるように分けたいのです。 これについて考える方法は いくつかあります。 これらの両方の数の最大公約数, gcd は何か考えてみましょう。 gcd の 21 と 30 です。 最大公約数。 これらの両方を割る 最大の数は何ですか? 素因数分解をしたり, または,これらの因数 (約数) を全部書き出して, 共通する最大のものが何かを 見るという方法もできます。 ここでは,素因数分解の 方法でやってみましょう。 21 です。21 は 3 かける 7 と同じです。 これらは両方とも素数です。 30 は,そうですね 3 かける…。 こうも書けますね。2 かける 15。 これは 2 かける 15 で, 15 は 3 かける 5 です。 これはさっきやりました。 そして両方の因数分解で,共通する 最大の数はどうなるかというと ここにある 3 だけです。 3 で割るより他はありません。 するとこれは 3 に等しいです。 これが基本的に言っているのは, これらの 2 つの数は両方とも 3 で割ることができて, そしてそれが最大の 約数だということです。 それが最大の同じ文房具 の組の数になります。 ちょっとどういう意味なのか, はっきりさせましょう。 この問題の答えは 3 でしたが, この 3 はどういう意味でしょうか。 この問題をちょっと可視化してみます。 21 個のバインダーを描いてみます。 それは,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 個の バインダーがありました。 そして 30 本の鉛筆です。 これは,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10。 これはコピーペーストしましょう。 続けても面倒で退屈です。 コピーして,ペースト。 これで 20 です。もう一回 ペーストすると 30 個になります。 さて,これらの両方を等しく分ける 最大の数は 3 だとわかっています。 ですから,これらの両方を 3 個の グループに分けることができます。 バインダーは,7 個ずつの グループに分けることができます。 そして,鉛筆は10 本ずつの グループが 3 つできます。 もし,このクラスに 3 人の 生徒が来たら, それぞれに,7 個のバインダーと 10 本の鉛筆を渡すことができます。 それがウマイマの作る ことのできる最大の 同じ文房具の組の数です。 3 セットあるとも言えます。 それぞれのセットには 7 個のバインダーと 10 本の鉛筆があります。 ここでは基本的に, これらの2つの数の両方を 等しく割れる数で最大の ものは何かと考えています。