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ビデオのトランスクリプト

このビデオではどんな数で割り切れるか という例題をいくつかやってみましょう。 どんな数で割り切れるかというのは だいたいこれに似た問題になります。 問題は,12 と 20 の両方の 数で割り切れる数は, 次の数でも割り切れます。 そういう数を求める問題です。 ここでのトリックはもしある数が 12 と 20 の両方で割り切れるならば, その数というのはこれらの数の それぞれの素因数分解でも割り切れる ということに気がつくことです。 ではこれらの素因数分解を考えましょう。 12 の素因数分解。 12 は 2 かける 6 で, 6 は素数ではないので,(更に素因数 分解をして) 6 は 2 かける 3 です。 これらは素数ですね。 ですから 12 で割り切れるどんな数も 2 かける 2 かける 3 で割り切れます。 ということはこの素因数分解は 12 で割りきれるために 2 かける 2 かける 3 が 入っていなくてはいけません。 では,20 で割り切れる どんな数でも割り切れるには これは 20 の素因数分解をすると, 2 かける 10 で, 10 は 2 かける 5 です。 どんな 20 で割り切れる数も, 2 かける 2 かける 5 で割り 切れなくてはいけません。 または,素因数分解で, つまり 2 つの 2 と 5 で 割り切れなくてはいけないと 考えてもかまいません。 もし数が,この両方の数で 割り切れるためには, 2 つの 2 と 3,そして 5 で 割り切れる必要があります。 2 つの 2 と 3 で 12, そして 2 つの 2 と 5 で 20 です。 これが両方とも割り切れるかを 自分で確かめることもできます。 やってみましょう。20 で 割り切るということは, 2 かける 2 かける 5 で 割り切れると同じことです。 ということは 2 × 2 × 5... この 2 とこの 2 は消えて, 5 も消えます。 ということは 3 が残ります。 これは 20 で割り切れます。 12 で割り切れるには, その素因数分解, 2 かける 2 かける 3 でも 割り切れなくてはいけません。 これは,ここが全部消えて 5 だけが残ります。 ということは,両方で 割り切れる数です。 この数は 60 ですけれども, これは両方で割り切れる数です。 これは 4 かける 3 の 12, 12 かける 5 は 60 です。 ここにある数というものは 12 と 20 の最小公倍数というものです。 12 と 20 の両方で割り切れる 数は実はもっとあります。 それはここにあるこの 60 に 他の因数をかけて 作ることができます。 それをたとえば,a とか b とか c と 呼ぶことができるでしょう。 ここにある 60 はある意味 12 と 20 で割り切れる最小の数です。 この小さな数と同様, この数の倍数の大きな数も 12 と 20 の両方で割り切れます。 では,これまで話したことから この問題に答えましょう。 12 と 20 の両方で割り切れる数は 全て次の数で割り切れます。 まあ,この部分が何かはわかりません。 この数は 60 かもしれませんし, 120 かもしれません。 この数は誰も知りません。 ですから,私たちが 知っている範囲で この数を割り切るというのは, そうですね,2 は 割り切るはずです。 2 は筋の通った答えです。 2 は明らかに 2 かける 2 かける 3 かける 5 を割り切ります。 2 かける 2 も割り切りますね。 2 かける 2 がここにあるからです。 3 も割り切ります。 2 かける 3 も割り切ることが できます。これは 6 です。 こちらは 4 で,これは 6 です。 6 で割り切ることもできます。 2 かける 2 かける 3 も 割り切ります。 ここにあるどんな数の組合せ でも割り切ることができます。 3 かける 5 もこの数を割り切るし, 2 かける 3 かける 5 もこの数を 割り切ることができます。 つまり,これらの素因数分解をみて これらの素因数分解の どんな組合せでも 12 と 20 の両方で割り切れる 数を割り切ります。 もしこれが選択問題だったら,どんな… そうですね。7 とか, 9, 12 と 8 が 選択肢だったとしましょう。 すると 7 はここにある素因数分解 にはないので,これは割り切れません。 9 は 3 かける 3 なので, 2 つの 3 が必要ですけれども これもありませんね。 ですからこれも割り切れません。 7 も上手くいかない, 9 も上手くいかない。 12 は 4 かける 3, それは 2 かける 2 かける 3 です。 それはここにあります。 2 かける 2 かける 3 は ここにあるので, この素因数分解にあるので, これは割り切ることができます。 これは 12 ですから 12 は上手くいきます。 8 は 2 かける 2 かける 2 です。 ということは 3 つの 2 が必要ですけれども ここには 3 つ 2 はありません。 ですからこれも割り切りません。 もっと理解するために, 他の例をやってみましょう。 次の問題は,そうですね。 似たような問題をやってみましょう。 全ての,そうですね... 2 つの何か面白い数。 9 と,そうですね。 何か面白い数...24。 9 と 24 の両方で 割り切れる数はまた, 次の数でも割り切れます。 ここでもまた素因数分解をします。 基本点には 9 と 24 の最小 公倍数というものを考えます。 9 の素因数分解は 3 かける 3。 これで終わりですね。 24 の素因数分解は, 24 は 2 かける 12で, 12 は 2 かける 6 で, 6 は 2 かける 3 です。 9 で割り切れる数には 9 が因数に 入っていなくてはいけません。 その素因数分解, つまり 3 かける 3 が 入っている必要があるということです。 24 で割り切れる数には 3 つの 2 が 少なくともないといけません。 (つまり,) 2 かける 2 かける 2。 そして少なくとも 1 つの 3 が入って いないといけませんけれども それは 9 のこの 3 から, すでにあります。 つまり,ここにあるこの数は 9 と 24 の両方の数で割り切れます。 これは実は 72 です。 8 かける 9 で,それは 72 です。 この問題の選択肢は, そうですね,これも 選択問題だとしましょう。 ここでの選択肢として考えるものは, 16, 27, 5, 11, そして 9 としましょう。 16 はもし素因数分解をすると, 2 かける 2 かける 2 かける 2, 2 の 4 乗です。 ですからこれには 4 つの 2 が必要です。 しかしここには 4 つの 2 はありません。 ここに他に何か因数が あるかもしれませんが, 何があるかはわかりません。 この部分だけが 9 と 24 の 両方で割り切れると 確実に思ってよい部分です。 ですから 16 は外してかまいません。 4 つの 2 はありませんから。 27 は 3 かける 3 かける 3 です。 ということは 3 つの 3 が必要ですけれども ここには 2 つしかないです。 ですからこれも違います。 5 は素数です。 ここには 5 はありませんから これも違いますね。 11 も素数で,11 もないので これも違います。 9 は 3 かける 3 です。 しかしこれは馬鹿げた答えですね。 今気がつきました。 なぜなら 9 と 24 で割り切れる数が 9 で割りきれるのは当たり前ですね。 まあ,9 で上手くいきますけれども, これは問題にある数だから, まあ,あまり意味がないです。 他の選択肢としては 8 が あればこれも答えです。 なぜなら 8 は 2 かける 2 かける 2 で それは,...3 つの 2 は ここにあります。 4 も答えになります。 それは 2 かける 2 です。 6 もあります。2 かける 3 です。 18 も答えになるでしょう。 2 かける 3 かける 3 です。 どんな数でもここにある 素因数の組合せなら この 9 と 24 の両方で 割り切れる数を割り切ります。 これであんまり混乱しないといいですね。