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75 の素因数分解を 書きなさい。 指数の記法を使って 答えを書きなさい。 いくつかの興味深いことが ここにあります。 それは「素因数分解」と 「指数の記法」というものです。 指数の記法については後で 考えることにしましょう。 最初に考えることは,まず, 素数というのはなんでしょうか? これはおさらいですが, 素数とは,自然数のうち, それ自身と 1 だけで 割り切れる数のことです。 素数の例を書いてみましょう。 素数をこちらに書いて, 素数ではないものを こちらに書きます。 2 は素数です。 これには 1 と 2 だけしか 割り切る数がありません。 3 はもう1つの素数です。 4 は素数ではないです。 これは,なぜなら,1 と 2 と 4 で割り切れるからです。 続けていきましょう。 5 は 1 と 5 だけで割り切れる 数ですから 5 は素数です。 5 は素数。 6 は素数ではありません。 なぜならそれは 2 と 3 でも割り切れるからです。 ここまでくればだいたい わかるのではないでしょうか。 次に 7 に行きますけれども 7 は 1 と 7 でしか 割りないので素数です。 8 は素数ではありません。 9 は素数と言いたく なるかもしれませんが, これは 3 でも割り切れる数ですから これは,素数ではありません。 素数と奇数は違うものです。 10 に行きますと, 10 はやはり素数ではありません。 これは 2 と 5 でも割り切れます。 11 は 1 と 11 だけでしか 割り切れないので素数です。 まあ,このように続けて いくことができます。 大きな素数を探すプログラムを 書いている人達がいます。 もう素数というのが何かは わかりましたね。 素因数分解は,数, たとえば 75 を 素数のかけ積に 分解することを言います。 まあ,やってみましょう。 75 からはじめます。 これは,因数分解の木と 呼ぶものを作っています。 まず最初に一番小さな 75 に ある素数をみつけます。 2 が一番小さな 素数ですけれども 2 では割れませんね。 75 は奇数ですので,… 1 の位は 5 ですので, これは奇数です。 奇数は 2 では割り切れません。 ですから 2 は 75 にある 素数ではありません。 3 は (75に) ありますか? 3… 7 たす 5 は 12 ですね。 12 は 3 で割り切れます。 ですから 75 は 3 かける何かになります。 25 かける 2 は 50 ですね。 ということは 25 かける 3 が 75 です。 3 かける 25 が 75 となります。 もし私を信頼できないのであれば, かけ算をしてみて下さい。 さて,25 は何で 割り切れるのでしょうか? 2 はもうあきらめて下さい。 75 が 2 で割り切れなければ, 25 も 2 で割り切れる ことはありません。 では…しかし, 25 は 3 で 割り切れるかもしれません。 そこで桁をたしてみます。 2 たす 5 は 7 です。 7 は 3 で割り切れません。 ですから 25 は 3 で 割り切れません。 続けていきましょう。 次の素数は,5 ですね。 (25 は) 5 で割り切れますか? そうですね。25 は 5 かける 5 です。 5 かける 5 です。 ですから割り切れる数です。 これで素因数分解は 終わりました。 なぜなら,ここにあるのは 皆素数だからです。 75 は 3 かける 5 かける 5 と書くことができます。 75 は 3 かける 5 かける 5 に等しいです。 それは 3 かける 25 とも 言うこともできますし, 25 は 5 かける 5 です。 3 かける 25, 25 は 5 かける 5。 これが素因数分解です。 しかし問題は,答えを指数の 形で書くように言っています。 これが意味するのは,もし素数が 繰り返される場合には, それを指数の形で 書くということです。 5 かける 5 が繰り返されて いるということですね。 5 かける 5。 それは 5 が 2 回 かけられていること, これは 5 の 2 乗ということです。 もしこの答えを指数の 記法で書きたければ, 3 かける 5 の 2 乗に 等しいと書くことができます。 5 の 2 乗というのは 5 かける 5 のことです。