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素因数分解
このビデオでは素数の概念と素因数分解の木を使って数の素因数分解を求める方法について説明します。また,指数表記による素因数分解の記法についても説明します。素数とは,自分自身と 1 だけで割り切れる数のことです。 Sal Khanとテクノロジーと教育のためのマネタリー財団 により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
75 の素因数分解を
書きなさい。 指数の記法を使って
答えを書きなさい。 いくつかの興味深いことが
ここにあります。 それは「素因数分解」と
「指数の記法」というものです。 指数の記法については後で
考えることにしましょう。 最初に考えることは,まず, 素数というのはなんでしょうか? これはおさらいですが,
素数とは,自然数のうち, それ自身と 1 だけで
割り切れる数のことです。 素数の例を書いてみましょう。 素数をこちらに書いて, 素数ではないものを
こちらに書きます。 2 は素数です。 これには 1 と 2 だけしか
割り切る数がありません。 3 はもう1つの素数です。 4 は素数ではないです。 これは,なぜなら,1 と 2 と 4
で割り切れるからです。 続けていきましょう。 5 は 1 と 5 だけで割り切れる
数ですから 5 は素数です。 5 は素数。 6 は素数ではありません。 なぜならそれは 2 と 3
でも割り切れるからです。 ここまでくればだいたい
わかるのではないでしょうか。 次に 7 に行きますけれども 7 は 1 と 7 でしか
割りないので素数です。 8 は素数ではありません。 9 は素数と言いたく
なるかもしれませんが, これは 3 でも割り切れる数ですから これは,素数ではありません。 素数と奇数は違うものです。 10 に行きますと, 10 はやはり素数ではありません。 これは 2 と 5 でも割り切れます。 11 は 1 と 11 だけでしか
割り切れないので素数です。 まあ,このように続けて
いくことができます。 大きな素数を探すプログラムを
書いている人達がいます。 もう素数というのが何かは
わかりましたね。 素因数分解は,数,
たとえば 75 を 素数のかけ積に
分解することを言います。 まあ,やってみましょう。 75 からはじめます。 これは,因数分解の木と
呼ぶものを作っています。 まず最初に一番小さな 75 に
ある素数をみつけます。 2 が一番小さな
素数ですけれども 2 では割れませんね。 75 は奇数ですので,… 1 の位は 5 ですので,
これは奇数です。 奇数は 2 では割り切れません。 ですから 2 は 75 にある
素数ではありません。 3 は (75に) ありますか? 3… 7 たす 5 は 12 ですね。 12 は 3 で割り切れます。 ですから 75 は 3
かける何かになります。 25 かける 2 は 50 ですね。 ということは 25 かける
3 が 75 です。 3 かける 25 が 75 となります。 もし私を信頼できないのであれば,
かけ算をしてみて下さい。 さて,25 は何で
割り切れるのでしょうか? 2 はもうあきらめて下さい。 75 が 2 で割り切れなければ, 25 も 2 で割り切れる
ことはありません。 では…しかし, 25 は 3 で
割り切れるかもしれません。 そこで桁をたしてみます。 2 たす 5 は 7 です。 7 は 3 で割り切れません。 ですから 25 は 3 で
割り切れません。 続けていきましょう。 次の素数は,5 ですね。 (25 は) 5 で割り切れますか? そうですね。25 は
5 かける 5 です。 5 かける 5 です。 ですから割り切れる数です。 これで素因数分解は
終わりました。 なぜなら,ここにあるのは
皆素数だからです。 75 は 3 かける 5 かける 5
と書くことができます。 75 は 3 かける 5 かける 5
に等しいです。 それは 3 かける 25 とも
言うこともできますし, 25 は 5 かける 5 です。 3 かける 25,
25 は 5 かける 5。 これが素因数分解です。 しかし問題は,答えを指数の
形で書くように言っています。 これが意味するのは,もし素数が
繰り返される場合には, それを指数の形で
書くということです。 5 かける 5 が繰り返されて
いるということですね。 5 かける 5。 それは 5 が 2 回
かけられていること, これは 5 の 2 乗ということです。 もしこの答えを指数の
記法で書きたければ, 3 かける 5 の 2 乗に
等しいと書くことができます。 5 の 2 乗というのは
5 かける 5 のことです。