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代数入門
素因数分解の練習問題
任意の数を素因数に分解する素因数分解を求める方法について学びましょう。素数と合成数の違いを理解しましょう。例として 36, 30, 73 の素因数分解をガイド付きで求めてみましょう。 Sal Khan により作成されました。
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問題は,「36 の素因数分解は
何ですか?」 と尋ねています。 ちょっとメモ用紙を使いましょう。 36 の素因数分解です。 まずは知っている一番小さな
素数で割っていきましょう。 それは 2 です。 2 は 36 にありますか? そうですね。もちろんあります。 36 は 2 かける 18 です。 ですからこれを 2 かける 18 と
このように書くことができます。 これで 36 を素数 2 と
18 に分けましたが, 18 は 1 と 18 以外にも
因数を持つ合成数です。 ですからこれをさらに
素因数分解してみましょう。 これは 2 で割り切れますか? そうですね。 18 は 2 かける 9 です。 そして,この 9 は合成数で, まだ素因数分解は
終わっていません。 こちらの 2 は両方とも素数です。 9 は 2 では割り切れませんが,
3 で割り切れます。 9 は 3 かける 3 です。 すると 36 というのは,これは 2 かける 2 かける 3 かける 3
に等しいと言えます。 これがその素因数分解です。 これらの数は皆素数です。 ではこれを入力して,
正しいかどうか確認しましょう。 ここに,2 かける 2 かける
3 かける 3 と入力して, あなたも自分で確認できます。 もし積が全部素数で
表されていて, その積が 36 になったのなら, この数の素因数分解は
できています。 あっていました。 これらをもういくつか
解いてみましょう。 30 の素因数分解は何ですか? またメモ用紙を出して,… 同じ手順です。 30,これは 2 で割り切れます。 ですからこれを 2 かける
15 と書くことができます。 15 は 2 では割り切れませんが, 3 で割り切れます。 これは 3 かける 5 と同じです。 そして 3 も 5 も両方とも素数です。 これらは 1 と自分自身だけでしか
割り切れない数,素数です。 すると 30 の素因数分解は
2 かける 3 かける 5 に等しいです。 入力して確認しましょう。 2 かける 3 かける 5 です。 いいですね。 もういくつか解いてみましょう。 73 の素因数分解は何ですか? 73 は興味深い数です。 おおっと… 73 は興味深いです。 メモ用紙をもう一回出して, 73 を素因数分解してみましょう。 まずは 2 ですが, これは奇数なので
割り切りません。 3 を試そうとすると,
すぐわかりますけれども, 3 は 72 なら割り切るので 73 なら 1 が余ります。 4 は素数ではないので,
飛ばして… 5 は 73 を割り切りません。 この数は 5 でも 0 でも
終わっていません。 7 ですが,7 は 70 を
割り切りますので, 73 の場合には 3 が余ります。 11 は 66 や 77 は
割り切りますが, 73 は割り切りません。 そういうふうに,次々に
試していきますが, 73 は簡単には
割り切れないようです。 ですから私は,73 が
素数ではないかと考えます。 すると,これはそれ自身が
素因数分解になります。 単純に 73 になります。 それを書いてみましょう。 ここでの答えを,単に
73 と書きましょう。 1 かける 73 とは書きません。 なぜなら 1 は素数では
ないからです。 思い出して下さい,1 はそれ自身の
1 という 1 つの因数しかありません。 素数とは 2 つの異なる因数,
1 とそれ自身,を持つものです。 2 つの異なった因数,
1 と それ自身です。 すると 1 は素数にはなりません。 ここには素数だけを書きます。 はい,あっていました。