素数

このビデオで私は素数というものの 意味についてお話したいと思います。 素数。このビデオで お見せする考えが とても素直なものだと思って もらえるとうれしいです。 しかし数学のキャリアを あなたが上るにつれて あなたはこの素数の 考えに基いて作られた とても洗練された考えについて 知ることになるでしょう。 それは暗号の理論を含みます。 あなたが今ちょうど 使っているコンピュータも 素数を基礎にして暗号化を 行なっていることでしょう。 あなたが暗号化とは(何かを) 今は知らなくても， 心配することはありません。 単に素数がとても重要なことだと 知ってもらえればいいです。 ここでは定義をあたえましょう。 この定義はちょっと 混乱するかもしれません。 しかし例と一緒に考えれば， そんなに難しくないとわかると思います。 ある数が素数というのは， もしある自然数， 自然数というのは たとえば 1 とか 2, 3 と (物を) 数える数のことです。 1 からはじまる数える数です。 あるいは「正の整数」 とも言えます。 その自然数のうち，厳密に 2 つの 自然数だけで割りきれるものです。 厳密に 2 つの自然数だけで 割りきれるものです。 他の 2 つの自然数，… いや，他の 2 つの自然数と 言うべきではないですね。 厳密に 2 つの自然数で 割り切れるものです。 そのうちの 1 つはそれ自身， もう 1 つは 1 です。 これらが 2 つの割り切れる数です。 ですから厳密に 2 つの「他の」 自然数とはいいませんでした。 なぜなら割り切れる数の 1 つは 他ではなくてそれ自身だからです。 この説明でわからなければ ちょっと例をお見せしましょう。 ある数が素数かどうかを みつけましょう。 一番小さな自然数から はじめましょう。 1 ですね。 数 1 はどうですか。 「1 は 1 で割り切れて，」 「1 は自分自身でも割り切れる。」 ヘイ! 1 は素数だ! と思うかもしれませんけれども， 思い出して下さい。 定義では，素数は， 厳密に 2 つだけの数で 割りきれる数です。 1 は実は 1 つだけの数， 1 だけでしか割り切れません， ですから，ちょっと直感に 反するかもしれませんけれども 1 は素数ではありません。 1 は素数ではない。 2 に行きましょう。 2 は 1 と 2 で割り切れます。 そして他の自然数では 割り切れません。 これは定義に合うようですね。 厳密に 2 つの自然数で しか割り切れない。 それ自身と 1。ですから 2 は素数です。素数になります。 素数を丸で囲んで，… おっと色をちょっともどして， 素数を色で囲んでおきます。 次は… 2 はちょっと興味 深いです。なぜなら， 偶数の素数は これしかないからです。 考えてみれば，どんな他の偶数も， 2 で割り切れるので，他の 偶数は素数ではありません。 これについてはまた他の ビデオで考えてみたいと思います。 3 を考えてみましょう。3 は確実に 1 と 3 で割り切れます。 そしてその間の 2 では 割り切れません。 ですから 3 も素数です。 では，4 を考えてみましょう。4。 4 は 1 と 4 で割り切れます。 しかし，2 でも割り切れます。 1 と 2 と 4。 3 つの自然数で割り切れます。 ですから，これは素数の 条件には合いません。 これは素数ではありません。 では 5 を試しましょう。 5 は 1 で確実に割り切れます。 でも，2, 3, 4 では割り切れません。 割ることはできるのです。 4 で割ると 1 余りがでます。 でもそれは割り切れる ものではありません。 そして 5 では割り切れます。 これは厳密に 2 つの 自然数で割り切れます。 1 と 5 で割り切れます。 ですからこれは素数です。 続けましょう。 何かここでパターンが 見えますか? このパターンはとても難しいもので， 人々を惑わしています。 では 6 を試しましょう。 6 は 1 で割り切れて， 2 でも割り切れて， 3 でも割り切れます。 4 と 5 では割り切れなくて， 6 で割り切れます。 ということは 4 つの自然数を「因数」 に持つ，と言うこともできるでしょう。 これは厳密に 2 つの割り切る数を 持つ数ではありません。 ですからこれは 素数ではありません。 7 に行きましょう。 7 は 1 で割り切れて， 2 でも 3 でも 4 でも 5 でも 6 でも割りきれません。 でも 7 では割り切れます。 ですから 7 は素数です。 もうこれがどういう考えか わかってきたでしょう。 いくつの自然数，… 自然数というのは 1, 2, 3, 4, 5, 6 のような数， たぶん 2 歳の時に 習ったような数です。 0 も負の数も分数や 無理数や小数を含まない 普通の，数を数える時に 使う正の数です。 もしそのうちの 2 つだけしか ある数を割り切らない場合， もしそれ自身と 1 だけでしか 割り切らない場合には， それは素数です。 私がこれを考える場合， 1 を特別な場合としては 考えません。 素数は数を作る 数の素のようなもので， もうそれ以上分割できない (割れない) ものです。 たとえるなら， 原子のようなものです。 原子が何かを考えれば， あるいは人々が原子について 考えたことですけれども， 原子はもうこれ以上分割できない ものとして考えていました。 実は今では，原子を分割する ことができますけれども， 素数も同じような考えが 背景にあります。 それらは，より小さな自然数の かけ算(積)， より小さな自然数には 分割できません。 6 のようなものは， ヘイ，6 は 2 かける 3 だ。 このように分割することができます。 ここでは注意して下さい。 6 は素数の積として分割されます。 それはある意味， 数の素へとの分割です。 7 はこれ以上 分割することができません。 言えるのは 7 は 1 かける 7 に 等しいというだけです。 しかしこの場合，実際には 分割していません。 また 7 がでてきてしまったので， 元に戻っただけです。 6 は分割することができて， 4 は 2 かける 2 に 分割することができます。 ではこれとは違って， ちょっと大きな数について考えましょう。 ある数が素数がどうかを 考えましょう。 そうですね。16 はどうでしょうか。 どんな自然数でも 1 と それ自身で割り切れます。 ですから 16 は 1 と 16 で割り切れます。 まずは 2 で割り切れるか どうかを考えましょう。 もし 1 とそれ自身以外の何か， この間の数で割り切れれば， それは素数でないことがわかります。 16 は 2 と 8 (2×8)， 4 と 4 (4×4) で割り切れます。 つまりこの場合，1 と 16 以外に いくつも因数がありました。 なので 16 は素数ではありません。 17 はどうですか? 1 と 17 はもちろん 17 を 両方とも割り切ります。 2 も 3，4，5，6，7，8 と， どの数，1 と 17 の間にあるどの数も 17 を割り切る数はありません。 ですから 17 は素数です。 17 は素数です。 ではちょっと難しいのを 試してみましょう。 これは多くの人が 間違うものです。 51 はどうですか? 51 は素数ですか? 51 は素数か? もし興味があれば ここでビデオをポーズして この 51 が素数かどうか 自分自身で考えてみて下さい。 もし 1 と 51 の間で 51 を 割る数をみつけられれば， それは素数ではないです。 これはどうですか? これはある意味ちょっと 奇妙な数です。 多分あなたはこれを素数だと 思うのではないでしょうか。 では答えです。 これは素数ではありません。 なぜなら 3 と 17 で この数は割れるからです。 3 かける 17 は 51 です。 このビデオで，素数とは どういうものかについて 考えをつかんでもらえたら嬉しいです。 そして未来のビデオでは 素数についての練習問題を いくつかできると良いと思います。