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素数と合成数を見分ける

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次の数は素数か合成数, あるいはどちらでもない数かを 見分けなさい。 ちょっとおさらいですが, 素数は自然数の一種です。 自然数というのは 数を数えるときの数です。 1, 2, 3, 4, 5, 6, と続くものです。 そしてそのうちで 2 つの因数 だけを持つものが素数です。 その因数というのは 1 とそれ自身です。 素数の場合,1 とそれ自身 だけの因数を持ちます。 たとえば,3 は素数ですが, これを割り切る数は 1 と 3 しかありません。 言いかえれば,3 を他の自然数の 積として示す方法は 1 × 3 だけです。 それは 1 とそれ自身だけです。 合成数とは自然数の一種で 1 とそれ自身以外にも 因数を持つものです。 この例はここで見ることになるでしょう。 そしてそれ以外のものというのは, そういうものがあるのかどうか, まあ興味深いですね。 まずは 24 について 考えましょう。 全ての自然数,あるいは 整数について考えます。 ただし,0 は整数に含まれます。 全ての自然に数える時の数で, 24 を余りなしで割ることができる 数について考えてみましょう。 これらを因数と言います。 明らかに,1 と 24 は 24 を割り切る数です。 実際に 1 × 24 = 24 です。 しかしこの数は 2 でも割り切れます。 2 でも割り切れる。 2 × 12 それは 24 です。つまり これは 12 でも割り切れます。 これはまた 3 でも割り切れます。 3 × 8 = 24 です。 実は素数ではないことを 示すためには, 因数を全てみつける 必要はありません。 これは 1 とそれ自身以外にも 因数を持つことは明らかです。 ですからこれは 明らかに合成数です。 合成数になります。 24 は合成数です。 せっかくはじめたので 因数分解を終わらせましょう。 これは 4 でも割り切れます。 4 × 6 = 24 です。4 × 6。 これで 24 の全部の 因数がでました。 1 と 24 の因数だけでは ないことはもう明らかです。 では 2 について考えましょう。 0 でない整数で 2 を割り切る数を考えます。 1 × 2 は確実に上手くいきます。 1 と 2,しかしそれ以外に 2 を 割り切る数というものはありません。 2 は 2 つの因数だけを持ちます。 1 とそれ自身です。 これは素数の定義でした。 ですから 2 は素数です。 2 は素数です。 2 は面白い数です。なぜなら,これは 唯一の偶数 (の素数) だからです。 一つだけの偶数の素数です。 唯一の偶数の素数です。 これは考えてみれば常識的です。 偶数の定義によれば,それは 2 で割り切れるものです。 2 は明らかに 2 で割り切れます。 ですから 2 は偶数です。 しかしこれはまた 2 と 1 のみで割り切れます。 それがこの 2 を素数にします。 しかしどんなものでも偶数であれば, 1 と それ自身と 2 で割り切れます。 どんな他の偶数も 1 とそれ自身と 2 で割り切れます。 ということは,定義によって, 1 とそれ自身と 何か他の数で割り切れる ものは,合成数になります。 2 は素数です。 2 以外の他の偶数は 全て合成数です。 ここに面白いものがあります: 1です。 1 は 1 でしか割り切れません。 1 は 1 でしか割り切れない。 ですからこれは厳密な解釈に 従えば素数ではありません。 なぜならこの数は 1 のみ を因数に持つからです。 2 つの因数を持っていません。 1 はそれ自身です。 しかし,素数であるためには,厳密に 2 つの因数を持たなくてはいけません。 1 は 1 つしか因数を持ちません。 そして,合成数になるためには, 2 つよりも多い因数を 持つ必要があります。 1,それ自身,そして他の数。 ということは,1 は素数でも 合成数でもない, どちらでもない数です。 最後に 17 があります。 17 は 1 と 17 で割り切れます。 1 と 17 で割り切れます。 それは 2 でも 3 でも 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 と 16 まで行っても割り切れません。 これは厳密に 2 つの 因数を持つ数です。 1 とそれ自身です。 ですから 17 は素数です。 これは素数。