数の 0 乗

2 の 3 乗のような指数に ついて考えてみましょう。 2 の 3 乗とは 2 を 3 回 かけ合わせたもの， つまり 2 × 2 × 2 です。 また，これは最初に 1 を持ってきて それに 2 を 3 回かけたものと 同じと言うことができます。 では 実際にこれを 定義として考えましょう。 これを計算するともちろん 8 に等しくなりますね。 では 今決めたこの定義に基づくと 2 の 2 乗は何になるでしょうか? これは 1 に 2 を 2 回 かけるので 1 × 2 × 2 で もちろん 4 に等しくなります。 2 の 1 乗は何ですか? まず 1 を持ってきて，それに 1 回 2 をかけます。 ですから 1 × 2 で それはもちろん 2 に等しいです。 ではここで面白い 問題を考えてみます。 今私たちが決めたやり方が 指数関数の定義だとすると 2 の 0 乗は何になりますか? ちょっと考えてみてください。 もしあなたが数学の コミュニティーにいたら， これまでに見てきた他の指数 関数と一貫性を保てるように 2 の 0 乗をどのように決めますか? この指数関数の定義だと まず 1 から始めて 底（てい）である 2 を 0 回かける つまり 2 をかけないということ なので 1 だけが残ります。 2 の 0 乗が 1 だというのは 意味が通りますか? ではもう一つ他の 考え方をしてみましょう 今度は違う底にします。 さっきは 底が 2 でしたが， 今回は 底を 3 にしましょう。 3 の 4 乗は 3 × 3 × 3 × 3 なので 81 に等しいです。 いや，やはり，計算した 値だけ書きましょう。 これは 81 に等しい。 3 の 3 乗と言う時は， 3 × 3 × 3 なので 27 に等しいです。 3 の 2 乗は 3 × 3 で 9 に等しい。 3 の 1 乗は 3 に等しい。 この指数が 1 つ減るごとに どうなるっているのかの パターンに気がつきましたか? 最初は 3 の 4 乗で それが 3 の 3 乗になると この値はどうなりますか? 81 から 27 に行くには 3 で割ります。 それは つじつまが合いますね。 なぜならかけ合わせている 3 の 数が 1 つ少ないからです。 27 から 9 に行くにもやはり 3 で割ることになります。 そして 9 から 3 に行くには また 3 で割っています。 この考えに基づくと， 3 の 0 乗は何だと思いますか? ここでのパターンは 指数が 1 つ減るごとに 底の値で割っています。 つまりまた 3 で割るのでしょう。 これもまた 3 で割ります。 このパターンに従えば，論理的には 3 ÷ 3 でこの場合も また 1 になりました。 何かの 0 乗が 1 だというのは， もしかしてあなたの直感に 反しているかもしれませんが， しかし，数学のコミュニティーは このように定義しています。 なぜならこうすると意味が 通るからです。 最初に 1 を持ってきてそれに， 底を指数の回数だけ かけ合わせるやり方でもー ここでは1 に 2 を 3 回かけます。 または指数が 1 つ減るごとに 底で割るというやり方でも どちらのやり方でもやはり 同じ結論になります。 2 の 0 乗は 1 で 3 の 0 乗も 1 です。 一般にどんな数の 0 乗も 1 になります。 例えばある数， どんな数でもいいですが， ある数 a の 0 乗は どうかと言うと 1 です。 さてここで私からあなたに 1 つ面白い質問があります。 先ほどの a の 0 乗では， a は 0 ではないことが条件です。 今からあなたに謎を 1 つあげましょう。 0 の 0 乗は何だと思いますか? あるいは 0 の 0 乗は 何であるべきでしょうか? 0 の 0 乗の面白いところは， これの面白いところは， こちらのやり方を使った場合と こちらのやり方を使った場合で 答えが違うところです。 こちらのやり方を使ったら 1 になります。 一方 こちらのやり方を使うと 0 で割る必要がありますが， 0 で割ることはできません。 とにかく，この 0 の 0 乗の謎に ついて少し考えてほしいと思います。