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線形関数の比較の文章問題: クライミング

2人の人が壁を登る様子が数式と表で示されている時,そのどちらが高い位置から壁登りをはじめたかを求めます。 Sal Khan により作成されました。

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ニックとアリッサがスポーツ クライミングの競争をしています。 アリッサの壁での高さは以下の 方程式で与えられています。 a イコール 3 分の 1 t たす 5,… どうやら 2 人は何かのスポーツ クライミングをしていて, a はアリッサの t 秒後の 高さをメートルで表します。 ニックはアリッサと同時にスタートして, 一定の速さで登ります。 ニックの高さは以下の表で 示されています。 するとこれは秒での時間で, これはメートルでの高さです。 アリッサとニックのどちらがより 高い位置からスタートしましたか? すると 2 人のスタート位置を 求めるために, 経過時間が 0 の時の高さを 求める必要があります。 0 秒後がスタートした時だからです。 アリッサの場合はすぐわかります。 経過時間が 0 に等しい時, 高さが 3 分の 1 かける 0 たす 5 なので 5 メートルです。 するとアリッサは経過時間が 0 に等しい時, 5 メートルの位置から始めました。 では,経過時間が 0 の時の ニックの高さについて考えましょう。 これを求めるためには, いくつかの方法があります。 1 つの方法は,時間を戻って いくという方法です。 この表を逆にたどります。 逆にたどると言っても わかりにくいでしょうから, 実際にお見せしましょう。 ニックの高さを n としましょう。 というのも a はアリッサの 高さだったからです。 ここにちょっとした表を作ります。 時刻 6 または,スタートからの 経過時間が 6 秒後, ニックは 6 メートルの高さに いたとわかっています。 経過時間が 8 秒の時, ニックは 7 メートルの高さにいました。 そして経過時間が 10 の時には, ニックは 8 メートルの高さにいました。 ここでは何が起きていますか? 2 秒経過するごとに, ニックは 1 メートル登ります。 さらに 2 秒たつと,1 メートル 高さが増えます。 ですからこれを逆に たどることができます。 2 秒戻ると 4 秒後で, 高さは 1 メートル減ります。 さらに 2 秒戻れば, さらに 1 メートルの高さが 減るはずです。 なぜこうなるかですが, ニックは一定の速さで 登っていると問題にあるからです。 するとさらに 2 秒戻れば, スタートの時刻になって, その時にはさらに 1 メートル 低かったはずです。 するとニックは 3 メートルの 高さにいたでしょう。 こうすると,経過時間が 0 に等しい時, ニックの高さは 3 メートルと わかります。 するとアリッサの方がニック よりも高い位置でスタートしました。 ですからこれが正しい答えです。 さて,これを考えるもう一つの方法は, アリッサのように方程式を立て, 経過時間が 0 に等しいと 代入することです。 そのためには,ニックの 高さを経過時間の 関数として表します。 それはまた線形方程式になります。 なぜなら 2 人は一定の速さで 登っているからです。 ニックは一定の速さで登って いるとわかっています。 ニックの高さを経過時間の 関数とすると, こんな形になるでしょう。 ニックの高さ n は, ある傾き m,ある変化率,… これはある距離毎時間で, これかける時間 t たす ニックの最初の位置 b です。 これを m,傾きと 最初の位置 b について 解くにはどうしたらいいでしょうか? そうですね。傾きは 高さの変化率です。 それは文字通り, ニックの高さが 単位時間でどれだけ 変化するかです。 するとここにある m は... m は単位時間あたり,… 単位時間あたりどれだけ 高さが変化したかです。 ニックの高さは n だったので デルタ n になります。 経過時間が 2 秒増えると,... ⁺2 秒になると, 高さが 1 メートル増えることは わかっています。⁺1 です。 ですから m は 2 分の 1 に 等しいです。 2 分の 1 メートル毎秒の 増加率です。 これは 2 秒で 1 メートル 移動することからもわかります。 この m はわかりました。 すると n イコール 2 分の 1 t たす b だとわかります。 では,b について解くには, これらの点の 1 つを 代入すれば良いです。 これらの点全てが ここにある方程式を 満たす必要があるからです。 ですから点 (6 , 6) を使いましょう。 (どの点でもよく,たまたま最初のものにした。) この式に経過時間が 6 を代入すると, 高さ n も 6 です。 すると 6 イコール 2 分の 1 かける 6 たす b です。 または,6 イコール 3 たす b です。 3 を両辺からひいて, b は 3 に等しいを得ます。 できました。 ニックの方程式, またはニックの高さを 経過時間の関数として得ました。 それはニックの高さイコール 2 分の 1 t たす 3 です。 すると,アリッサのような 方程式が得られました。 そして,経過時間が 0 に等しい時には, ニックの高さは 3 で, アリッサのスタートの 高さよりも低いです。