線形関数の比較の文章問題: クライミング

ニックとアリッサがスポーツ クライミングの競争をしています。 アリッサの壁での高さは以下の 方程式で与えられています。 a イコール 3 分の 1 t たす 5，… どうやら 2 人は何かのスポーツ クライミングをしていて， a はアリッサの t 秒後の 高さをメートルで表します。 ニックはアリッサと同時にスタートして， 一定の速さで登ります。 ニックの高さは以下の表で 示されています。 するとこれは秒での時間で， これはメートルでの高さです。 アリッサとニックのどちらがより 高い位置からスタートしましたか? すると 2 人のスタート位置を 求めるために， 経過時間が 0 の時の高さを 求める必要があります。 0 秒後がスタートした時だからです。 アリッサの場合はすぐわかります。 経過時間が 0 に等しい時， 高さが 3 分の 1 かける 0 たす 5 なので 5 メートルです。 するとアリッサは経過時間が 0 に等しい時， 5 メートルの位置から始めました。 では，経過時間が 0 の時の ニックの高さについて考えましょう。 これを求めるためには， いくつかの方法があります。 1 つの方法は，時間を戻って いくという方法です。 この表を逆にたどります。 逆にたどると言っても わかりにくいでしょうから， 実際にお見せしましょう。 ニックの高さを n としましょう。 というのも a はアリッサの 高さだったからです。 ここにちょっとした表を作ります。 時刻 6 または，スタートからの 経過時間が 6 秒後， ニックは 6 メートルの高さに いたとわかっています。 経過時間が 8 秒の時， ニックは 7 メートルの高さにいました。 そして経過時間が 10 の時には， ニックは 8 メートルの高さにいました。 ここでは何が起きていますか? 2 秒経過するごとに， ニックは 1 メートル登ります。 さらに 2 秒たつと，1 メートル 高さが増えます。 ですからこれを逆に たどることができます。 2 秒戻ると 4 秒後で， 高さは 1 メートル減ります。 さらに 2 秒戻れば， さらに 1 メートルの高さが 減るはずです。 なぜこうなるかですが， ニックは一定の速さで 登っていると問題にあるからです。 するとさらに 2 秒戻れば， スタートの時刻になって， その時にはさらに 1 メートル 低かったはずです。 するとニックは 3 メートルの 高さにいたでしょう。 こうすると，経過時間が 0 に等しい時， ニックの高さは 3 メートルと わかります。 するとアリッサの方がニック よりも高い位置でスタートしました。 ですからこれが正しい答えです。 さて，これを考えるもう一つの方法は， アリッサのように方程式を立て， 経過時間が 0 に等しいと 代入することです。 そのためには，ニックの 高さを経過時間の 関数として表します。 それはまた線形方程式になります。 なぜなら 2 人は一定の速さで 登っているからです。 ニックは一定の速さで登って いるとわかっています。 ニックの高さを経過時間の 関数とすると， こんな形になるでしょう。 ニックの高さ n は， ある傾き m，ある変化率，… これはある距離毎時間で， これかける時間 t たす ニックの最初の位置 b です。 これを m，傾きと 最初の位置 b について 解くにはどうしたらいいでしょうか? そうですね。傾きは 高さの変化率です。 それは文字通り， ニックの高さが 単位時間でどれだけ 変化するかです。 するとここにある m は．．． m は単位時間あたり，… 単位時間あたりどれだけ 高さが変化したかです。 ニックの高さは n だったので デルタ n になります。 経過時間が 2 秒増えると，．．． ⁺2 秒になると， 高さが 1 メートル増えることは わかっています。⁺1 です。 ですから m は 2 分の 1 に 等しいです。 2 分の 1 メートル毎秒の 増加率です。 これは 2 秒で 1 メートル 移動することからもわかります。 この m はわかりました。 すると n イコール 2 分の 1 t たす b だとわかります。 では，b について解くには， これらの点の 1 つを 代入すれば良いです。 これらの点全てが ここにある方程式を 満たす必要があるからです。 ですから点 (6 , 6) を使いましょう。 (どの点でもよく，たまたま最初のものにした。) この式に経過時間が 6 を代入すると， 高さ n も 6 です。 すると 6 イコール 2 分の 1 かける 6 たす b です。 または，6 イコール 3 たす b です。 3 を両辺からひいて， b は 3 に等しいを得ます。 できました。 ニックの方程式， またはニックの高さを 経過時間の関数として得ました。 それはニックの高さイコール 2 分の 1 t たす 3 です。 すると，アリッサのような 方程式が得られました。 そして，経過時間が 0 に等しい時には， ニックの高さは 3 で， アリッサのスタートの 高さよりも低いです。