線形関数の文章問題: ペイント

ヒロは 1 時間に 8 平方メートルの率で 部屋にペンキを塗りました。 3 時間塗った後に まだ 28 平方メートルが 塗られていません。 3 時間塗った後に 28 平方メートルが 残っているのですね。 つまりここでは塗り残しの量を言っていて どれだけ塗ったかではありません。 A(t) を塗る必要がある面積だとしましょう。 A は t の関数で，A の単位は平方 メートル，t の単位は時間 です。 もう一度，A(t) はどれだけ 塗り残しがあるかで， どれだけ塗ったかではありません。 関数の方程式を書きましょう。 ここでやりたいことですが，．．． ますいくつかの点について考えましょう。 もうちょっとわかりやすくしたいと思います。 違う色を使いましょう。 まず考えることは A(t) が異なった経過時間で どう変わるかです。 こちらは経過時間 t ， A(t)，A は時間 t の関数です。 そしてその 1 点が与えられています。 つまり，「3 時間ペンキを塗った後， 28 平方メートルの塗り残しがある。」 ことがわかっています。 もう一度言いますが A(t) は 塗り残しの部分で もう塗った面積ではありません。 値を入れられるように ちょっとあけておきますか… 0，1，2 とかです。ここに 3 と書きます。 3 時間後には 28 平方メートル 塗り残しがあります。 こちらの単位は平方メートルとします。 こちらの単位は時間です。 ここでヒロが部屋を塗る速さが 1 時間あたり 8 平方メートル だと言っています。 では時間を戻してみましょう。 少し戻って，2 時間後はどう なっていますか? 2 時間後。 どれだけ塗り残しがありますか? この時の A(t) は何だったでしょうか? 28 よりも大きいですか? それとも小さいでしょうか? 1 時間あたり 8 平方メートルを 塗っているので， 時間がたつと，より大きい 面積が塗られます。 しかし A(t) はどれだけ塗ったかではなく， 塗り残しの面積，だったのです。 すると時間が経過すると残りの 部分は少なくなるはずです。 ですから時間が増えると， A(t) は減るはずです。 すると 2 時間後は，3 時間後より 大きい面積が残っているはずです。 なぜなら A(t) は残りの面積だからです。 2 時間後の塗り残しは，3 時間の 塗り残しよりどれだけ多いですか? ここでは 1 時間あたり 8 平方メートル 塗ると言っているので 2 時間後と 3 時間後の間に 8 平方メートル塗られたはずです。 ですからここに 8 をたすと， そうすると 36 になるはず。 ですから 2 時間後には 36 平方 メートル塗り残しがあったはずです。 では，1 時間後はどうでしょうか? 1 時間後には 2 時間後よりさらに 8 平方メートル多く 塗り残しがあるはずです。 36 たす 8 は 44 に等しいです。 では 0 時間後はどれだけ 塗り残しがあったでしょうか? 色を変えて，0 時間の時， 1 時間でさらに 8 平方メートル 塗ったはずなので， 44 たす 8 で 52 に等しいです。 確認しましょう。 ヒロが塗り始めた時は 52 平方メートル塗り 残しがありました。 1 時間が過ぎると， 時刻の変化が 1 の時， 塗り残しの面積の変化量は 8 で，8 減ります。 A の変化量は -8 です。 これは意味が通ります。 変化率は負のはずです。 なぜなら，塗り残しの面積は， 時間とともに減っていくからです。 これはとても面白いです。 では，実際に方程式を 立てられるかどうか， この関数を示す方程式を 考えてみましょう。 これは一定の速さで起こっています。 t が 1 増えると A(t) は 8 減ります。 t が 1 増え，A(t) は 8 減る。 問題が言うように，1 時間 あたり 8 平方メートルの 速さで塗っているからです。 一定の率で変化する何かは いつでも線形関数で 書くことができます。 そして，線形関数には 形式があります。 A(t) は一定の速さに 時間をかけたものに 初期値をたしたものに 等しいです。 そして m と b は線形関数に 良く使う文字で これは変化率， またはグラフの傾きが m です。 そして，b は始点で， 垂直軸の切片です。 よく y 切片と呼ばれますが， 今回は A の軸なので， A 切片です。 ここで実際にみているのは，・・・ これをグラフにするとしたら A 切片を見つけるといいでしょう。 しかし，これらはもうわかっています。 変化率は -8 でした。 傾きが何かと言うと 傾きとは A の変化量割る t の変化量です。 A の変化量。 いや，ちょっとこう書いてみましょう。 楽しいので色を変えてみます。 傾き m は独立変数の 変化量割る 従属変数の変化量です。 ですからこれは -8 に等しいです。 問題にあります。これは -8 です。 そして b は A(0) の値です。 A(0)では t が 0 に等しいので 0 がかかっているこの項が なくなって，b だけが残ります。 A(0) は b に等しいです。 それは 52 だとわかっています。 これが 52 とわかっていました。 できました。 これを書き換えてみましょう。 A(t) は経過時間についての 塗り残しの面積を示して， これは -8 かける経過時間 t たす 52 です。 単位があっているかを 確認できます。 この -8 について，．．． そうですね。これらを単位を 含めて書いてみましょう。 (これは)大事なことです。 面積を時間の関数とします。 これはどれだけの面積が 残っているかです。 これは -8 でこの単位は 平方メートル/時間。 -8 平方メートル/時間です。 それに経過時間 t 時間をかけます。 「時間」と全部書いておきましょう。 これで単位であって変数 ではないとわかるでしょう。 t 時間，こちらも「時間」です。 そして 52 平方メートルをたします。 たす．．． うーむ。ちょっと，色を変えるのが… うーむ，色を変えるのが 上手くいきませんね。 +52 平方メートル。 時間を時間で割ると， それがキャンセルされて， 平方メートルだけが残ります。 -8t 平方メートルです。 これに 52 平方メートルをたします。 すると，A(t) の単位は 平方メートルです。 他の方法でこれを解くこともできます。 ここですぐに，変化率が -8 平方メートル/時間だとわかります。 これをみたらすぐに，「変化率は 8 平方メートル/時間だろう」， と思うかもしれませんが， しかし気を付けましょう。 この A は塗った面積ではなく 塗り残しの面積でした。 A はどれだけ残っているかで 毎時 8 平方メートルずつ減ります。 すると方程式はこんな感じです。 A(t) = -8 t たす b です。 そしてここの情報を使って， b について解くことができます。 これは t が 3 に等しい時， A は 28 に等しいという意味です。 これらを代入して b について 解くことができます。 t が 3 に等しい。そして A(t) は 28 です。 つまり 28 = -8 * 3，それは -24 で， (これに) たす b です。 そして両辺に 24 をたして おおっと， 両辺に 24 をたします。たす 24。 28 たす 24 は 52 に等しい。 そして右辺は b だけが残って， b イコール 52 です。 b は 52 で，… これらは全く同じなのですが， 私は最初の方法のほうが好きです。 というのも，どちらかと言うと， こちらの方が何が起こっているか わかりやすいかなと思うからです。