線形方程式のモデル化: ジムの会員とレモネード

このビデオでは，直線のグラフを使った いくつかの文章問題をやっていきます。 問題は，あるジムでは新しいメンバーの 会費が次のように提案されています。 新メンバーは入会費として まずは $200 を払います。 200 ドルをまず払う。 そして，毎月の費用は $39 を払います。 毎月 $39 を払う。 これは入会費です。 1 年後にはこのメンバー費用の 合計はいくらになりますか? では，合計どれだけ払うかを 表す方程式を作りましょう。 p がメンバー費用の合計を 表すとしましょう。 何ヶ月ジムに通うかに関係なく， ジムに通い始めるには 入会費を $200 払う 必要があります。 金額は全部ドルで考え， ドルは書かないことにします。 まず 200 と書いて，200 ドルです。 そして毎月 $39 を払います。 $39 毎月。 月の数を m として， それに 39 をかけます。 1 ヶ月間ジムを利用すると 1 ヶ月かける $39 です。 すでに入会費を $200 払っています。 するとこれは $239 です。 2ヶ月利用すると， 入会費 $200 に加えて 39 かける 2 ヶ月，それは 78 で， 合計は $278 です。 これを線形方程式にして グラフを描きたいです。 この関係をグラフで描きましょう。 線形方程式は y = mx+b の形でした。 これが 1 つの形式で， この形で表すには， 39m と 200 を入れかえて， p = 39m+200 とすればいいです。 p = 39m+200 です。 では，傾きと y 切片は何ですか? ここでちょっとわかりにくいのは， いつもは x と y があったのに その代わりに今回は p と m に なっていることでしょう。 いつもは x が独立変数で y が従属変数でした。 こちらでは月の数m が独立変数で 何か月ジムにいくかで費用が 決まるので p がそれに従属します。 これらは同じことです。 m が x に，p が y に対応します。 そしてパターンをマッチさせれば， これが垂直方向の切片， つまり p 切片です。 ここでは y 軸の代わりに p 軸に交差しています。 いつもは y 軸なので， 私は y 切片と 書くことが多いです。 でも p 軸です。 これが傾きです。 では，この関数をグラフにしてみます。 手書きなので正確には できませんけれども， 考え方はわかるでしょう。 今回は第 1 象限だけ あればいいです。 負の月数にはならないし ジムからお金をもらうことも ないからです。 では，最初にまず $200 を ジムに払います。 200 ドルは入会金なので とにかくまず払います。 0 ヶ月でも $200 は払います。 そして毎月 $39 ずつ払います。 すると傾きは 39 です。 1 月目はここにあるとしましょう。 この軸は月の数を表しています。 この軸，p 軸が価格，プライスです。 これは p 切片， あるいは y 切片です。 1月後にはいくら払っていますか? 傾きは 39 で，1 ヶ月進んだので， するとここは 239 です。 39 あがって 239 です。 もう 1 ヶ月進むと， 278 になります。 ちょっと軸のラベルが 普通と違いますが， 考え方はわかると思います。 ですから，月によっていくら 払うことになるかは こんな感じのグラフになるでしょう。 そして問題は 1 年間でいくらに なるかを尋ねています。 1 年は 12 ヶ月です。 ですから，2，3，4 と 12 までいきます。 この，．．．グラフはこの あたりになるでしょう， でも，これを代数的に 解くことができます。 1 年では m は 12 に等しいです。 ですから m が 12 の時を考えます。 その時，全部の費用は いくらですか? メンバー費用 p は入会費の $200 に 月の会費 39 に月の数の 12 を かけたものをたしたものです。 すると 39 かける 12 を計算します。 2 かける 9 は 18 で 1 (繰り) 上がって 2 × 3 が 6。それに 1 をたして 7 です。 次に 0 があって。1 かける 9 は 9 で， 1 かける 3 は 3 です。 この 1 はもういりません。 そしてたすと 8 で，7 たす 9 は 16 で 1 (繰り) あがって， 1 たす 3 は 4 です。 メンバー費用の合計は 200 たす， 39 かける 12 ，それは 468 で 合計は 1 年で $668 です。 もし，このグラフで 12 まで行けば， 直線は 668，この あたりになるでしょう。 このように上がっていきます。 ではもう 1 問解きましょう。 ボビーとペトラはレモネードスタンドをたて， グラス1 杯 45 セント， つまり 0.45 ドル毎グラス(杯)で 売っています。 1 杯0.45ドル。 2 人が元を取るには $25 を 売り上げる必要があります。 25 ドルが必要。 2 人が元を取るには何杯の レモネードを売る必要がありますか? ではこれを y と x を 使って考えましょう。 y を売上げ額とします。 今回の問題でわかるように， 売り上げ額ともうけ額は違います。 これを知らない人を狙う詐欺が ありますので気をつけましょう。 x を売ったレモネードの 杯数とします。 グラスの数，杯数とします。 x 杯売りました。 ｙ を x の関数で書きましょう。 y は，１杯 0.45 ドルなので， それに売った杯数をかけます。 すると，0.45 ドルかける， 何杯売ったかの x をかけます。 問題にはスタンドの費用や， 販売の必要経費の 情報がありません。 単に元を取るにはどれだけ売れば 良いですか，と聞いています。 何杯売ればいいでしょうか? その元を取るためには $25 の 売上が必要とあります。 元を取るには $25 分売る 必要があります。 それは何杯でしょうか? 何杯 売る必要がありますか? y が $25 に等しくなる 必要があります。 そのためには何杯売れば 良いか? ということです。 つまり，この方程式で 0.45x が 25 に等しくなる 必要があります。 両辺を 0.45 で割ると左辺 には x だけが残ります。 右辺も 0.45 で割ります。 ここで左辺は x で， これ が何に等しいか? 計算器で，25 を 0.45 で 割ると何になりますか? これは 55.555,,, 杯ですが， 繰り上げて 56 杯です。 55.5 の循環小数杯です。 しかし，グラス半分を 売ることはないです。 ですから 56 杯になります。 グラス半分は売ることはありません。 ですから元を取るには最低 56 杯売る必要があります。 これをグラフにしてみましょう。 この問題でも扱う数が 全部正の数なので 第 1 象限のみでよいです。 1 杯売れば $0.45 の 売り上げです。 ここで x が売った杯数です。 こちらが売り上げです。 5 ごとの目盛りをつけましょう。 すると，5，10，15，20，25 うーん，実は，もっと大きな 目盛りでないと 56 に届きませんね。 10 ごとにしてみましょう。 10，20，30，40，50，60 です。 これが売った杯数です。 0 杯では売上げは $0 です。 これが y 切片です。 y 切片は 0 に等しいです。 10 杯売ると，$4.5 になります。 ここが 4.50 ドルです。 ここが 9 で・・・ いや，やっぱり書き直します。 9 の倍数にしましょう。 9 の倍数に書き直してみます。 すると，ここが 9，18，27，35 10 杯売ったら $4.50 の売上げです。 10 かける 0.45 です。 ここです。 20 杯では $9 の売り上げです。 そうして 40 杯売れば $18 の売り上げです。 こうすると傾きがわかるでしょう。 10 移動すると 4.5 上がっていきます。 グラフはこのようになるでしょう。 これは直線です。 元を取るには，$25 必要なので ここらへんです。 $25 はこのあたりで， ここで元が取れます。 もうちょっとちゃんと 直線を描きましょう。 直線はこんな感じになるでしょう。 $25 で元が取れるというのは このあたりです。 これは約 56 杯売ったところに なるはずです。 もちろん正確にグラフは 描けていませんが だいたい理解できるでしょう。 今回ちょっと注意して欲しいのは， 売り上げともうけの 違いがあることです。 レモネードの材料費などがかかる ので，ある程度売るまでは赤字です。 いつかあなたが働くとき， 売上ともうけの違いがわからない人を だますような詐欺があったりする ので注意して下さい。