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表，等式，グラフによるモデル化

ピザのトッピングと値段のような，表，等式，グラフで表すことのできる 2 変数の間の関係をみましょう。

数学は関係性がすべてです。例えば，身長と体重の間の関係はどのように書けばよいのでしょうか? または，あなたが稼ぐお金の額と，その仕事をする時間の間の関係をどのようにしたら書くことができるでしょうか?

関係を表す時，数学には表，グラフ，等式という 3 つの主な方法があります。この記事ではある関係を表，グラフ，等式を使って表現してみます。そしてそれがどのようになっているかを見ていきましょう。

関係の例: あるピザの会社は小さなピザを

600

円で売ります。それぞれのトッピングは

200

円します。

表で表現する

トッピングが

0

の時，ピザの値段は

600

円であることがわかっています。トッピング

1

つで

200

円が追加されます。すると，

800

円になります。これを表す表は以下のようになっています:

ピザのトッピングの数 $(x)$ ‍	値段 $(y)$ ‍ (円)
$0$ ‍	$600$ ‍
$1$ ‍	$800$ ‍
$2$ ‍	$1000$ ‍
$3$ ‍	$1200$ ‍
$4$ ‍	$1400$ ‍

もちろん，この表ではいくつかの数のトッピングの時の値段しかありません。たとえば，ピザのトッピングを

7

つにしていけない理由はありません。(それはたぶんぐちゃぐちゃになるということを除いて!)

トッピングが

4

つの時の小さなピザの値段がこの表ではどうなっているかを見てみましょう。

これがピザの生地だけの値段です:

$600$ ‍

これがトッピング

4

つにかかる値段です:

$4$ ‍ つのトッピング $\cdot$ ‍ トッピング 1 つあたり $200$ ‍ 円 $=$ ‍ $800$ ‍ 円

この合計は次の通りです。

$600 + 800 = 1400$ ‍

この小さなピザのトッピングが $5$ ‍ つの時の値段はいくらですか?

百円

もう 1 行表をのばしましょう:

ピザのトッピングの数 $(x)$ ‍	値段 $(y)$ ‍ (円)
$0$ ‍	$600$ ‍
$1$ ‍	$800$ ‍
$2$ ‍	$1000$ ‍
$3$ ‍	$1200$ ‍
$4$ ‍	$1400$ ‍
$5$ ‍	$1600$ ‍

5

つのトッピングののったこの小さなピザの値段は

1600

円です。

方程式で表現する

x

個のトッピングをのせたピザの値段

y

について方程式を解きましょう。

これがピザの生地だけの値段です:

$600$ ‍

これが

x

個のトッピングがある時の値段です:

トッピング $x$ ‍ 個 $\cdot$ ‍ トッピング 1 つにつき $200$ ‍ 円 $=$ ‍ $x \cdot 200 = 200 x$ ‍

すると小さなピザの値段

y

についての方程式はこれです:

$y = 600 + 200 x$ ‍

3

個のトッピングのある小さなピザでこれが上手くいくか見てみましょう:

$x = 3$ ‍ です。なぜなら， $3$ ‍ 個のトッピングだからです。

合計の値段は $600 + 200 (3) = 600 + 600 = 1200$ ‍ です。

$100$ ‍ 個のトッピングをのせた小さなピザの値段を求めるために，この方程式を使いましょう。

百円

グラフでの表現

x

と

y

の値から順序対を作ることができます:

ピザのトッピングの数 $(x)$ ‍	合計の値段 $(y)$ ‍	順序対 $(x, y)$ ‍
$0$ ‍	$600$ ‍	$(0, 600)$ ‍
$1$ ‍	$800$ ‍	$(1, 800)$ ‍
$2$ ‍	$1000$ ‍	$(2, 1000)$ ‍
$3$ ‍	$1200$ ‍	$(3, 1200)$ ‍
$4$ ‍	$1400$ ‍	$(4, 1400)$ ‍

これらの順序対を使ってグラフを作成できます。

素敵です! トッピングをたすとこの小さなピザの合計の値段がどう増えていくのかがグラフでは簡単にわかることに注意して下さい。

できました!

あるピザの会社が小さなピザを

600

円で，そしてそれぞれのトッピングを

200

円で売ることを表，方程式，グラフで表しました。

ここで本当に素敵なことは，同じ関係を 3 つの方法を使って表すことができたことです。表ではトッピングの数によって合計がいくらなのかの正確な値段を表します。方程式ではどんな数のトッピングの場合にでもその合計が求められます。そしてグラフでは関係を目に見えるようにすることができます。

では，ある関係を表すために表，方程式，グラフを作ってみましょう。

試してみましょう!

あるアイスクリーム店は

2

スクープのアイスクリーム 1 個を

300

円で売ります。追加のスクープにはそれぞれ

100

円がかかります。

関係を表す表を完成させましょう。

アイスクリームのスクープ数 $(x)$ ‍	合計金額 $(y)$ ‍ 百円
$2$ ‍	$3$ ‍ 百円
$3$ ‍	答えは $6$ ‍ のような整数簡単にされた真分数，たとえば $3 / 5$ ‍ 簡単にされた仮分数，たとえば $7 / 4$ ‍ 帯分数，たとえば $1 3 / 4$ ‍ 厳密な小数，たとえば $0.75$ ‍ πの倍数，たとえば $12 pi$ ‍ や $2 / 3 pi$ ‍ 百円
$4$ ‍	答えは $6$ ‍ のような整数簡単にされた真分数，たとえば $3 / 5$ ‍ 簡単にされた仮分数，たとえば $7 / 4$ ‍ 帯分数，たとえば $1 3 / 4$ ‍ 厳密な小数，たとえば $0.75$ ‍ πの倍数，たとえば $12 pi$ ‍ や $2 / 3 pi$ ‍ 百円
$5$ ‍	答えは $6$ ‍ のような整数簡単にされた真分数，たとえば $3 / 5$ ‍ 簡単にされた仮分数，たとえば $7 / 4$ ‍ 帯分数，たとえば $1 3 / 4$ ‍ 厳密な小数，たとえば $0.75$ ‍ πの倍数，たとえば $12 pi$ ‍ や $2 / 3 pi$ ‍ 百円
$6$ ‍	答えは $6$ ‍ のような整数簡単にされた真分数，たとえば $3 / 5$ ‍ 簡単にされた仮分数，たとえば $7 / 4$ ‍ 帯分数，たとえば $1 3 / 4$ ‍ 厳密な小数，たとえば $0.75$ ‍ πの倍数，たとえば $12 pi$ ‍ や $2 / 3 pi$ ‍ 百円

追加のスクープには

1

百円が追加されます :

アイスクリームのスクープ数 $(x)$ ‍	合計金額 $(y)$ ‍ 百円
$2$ ‍	$3$ ‍ 百円
$3$ ‍	$4$ ‍ 百円
$4$ ‍	$5$ ‍ 百円
$5$ ‍	$6$ ‍ 百円
$6$ ‍	$7$ ‍ 百円

この関係を表す方程式を書きましょう。
$x$ ‍ をアイスクリームのスクープ数， $y$ ‍ 百円が合計金額です。 $y$ ‍ が 2 の時に 2 百円であることに注意してください。

この方程式はとてもトリッキーです!

2

スクープより後の追加のスクープには

1

百円がかかります。すると，この方程式は次のものを含みます

$1 \cdot x$ ‍.

たとえば，

x = 2

と

y = 3

の時にこの方程式が真となるためには

1

をたす必要があります。するとこれがその方程式です:

$y = 1 \cdot x + 1$ ‍

これを次のように書くこともできます:

$y = x + 1$ ‍

この関係を表すグラフを作るために表からの点をプロットしましょう。
上の表のぴったりの位置に点を打つことを忘れないようにしましょう!

これは

x

と

y

の値から作った順序対です:

アイスクリームのスクープ数 $(x)$ ‍	合計金額 $(y)$ ‍ 百円	順序対 $(x, y)$ ‍
$2$ ‍	$3$ ‍	$(2, 3)$ ‍
$3$ ‍	$4$ ‍	$(3, 4)$ ‍
$4$ ‍	$5$ ‍	$(4, 5)$ ‍
$5$ ‍	$6$ ‍	$(5, 6)$ ‍
$6$ ‍	$7$ ‍	$(6, 7)$ ‍

これがそのグラフです:

3 つの異なる方法を比較しましょう

ある関係を表す 3 つの主な方法は表，方程式，グラフだということを学びました。

それぞれの長所と短所は何かついて考えてみましょう。

たとえば，表の代わりにグラフを使う人がいるのはなぜでしょうか? グラフの代わりに方程式を使う人がいるのはなぜでしょうか?

ぜひ以下のコメント欄で気軽に議論してみましょう!!

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