変数のある場合の分配法則

これまでの数学の授業で 因数という考えを習ったと思います。 たとえば，何か適当な 数を考えましょう。 数 12 にしましょう。 この数 12 は 2 と 6 の積だと 言うことができます。 2 かける 6 は 12 に等しいです。 2 と 6 の積をとったら 12 が得られたとしたら， この 2 は 12 の因数だと 言うことができます。 また，この 6 も 12 の因数です。 これらの積をとると 12 になります。 これを 12 を因数分解した 形だと言うこともできます。 普通はそうは言いませんが， こう考えても間違いではありません。 12 をかけ算の形に分解したものです。 以前「素因数分解」ということを 習ったでしょう。 これらを全部素因数に 分解したものです。 その場合，6 を 2 と 3 に 分解することができて， 2 かける 2 かける 3 が 12 に等しいとなります。 この時には，「これは 12 を 素因数分解した」とか， 「これは 12 の素因数分解 です」と言えます。 素因数分解です。 「因数」とは，「因数」を かけあわせれば， 元の数になるというのが 「因数」という考えです。 または，因数分解の形に ついて考える時には， それは基本的にある数をとって， かけ算の形に分解する， そのかけ算を計算すると 元の数になる，というものです。 さてここでしたいことは， この考えを代数の分野に 拡張することです。 では，ある式から始めましょう。 その式は，2 たす 4x です。 これを 2 つの数や 2 つの式， または数と式の積の形に 分解することはできますか? そうですね。多分あなたの 頭の中にこれを 2 かける (1 たす 2x) と書くことが できると浮かんだでしょう。 もしそうしたければ， これが 2 たす 4x に 等しいことを確認できます。 それにはこの 2 を分配します。 2 かける 1 は 2 で， 2 かける 2 かける x は， これはたす 4x です。 代数の考えでは，これはしばしば 因数分解した式，とか， あるいはこれを因数分解 形式だというふうに呼びます。 時々，これを 2 を 因数分解したとか， 2 をくくり出したとも言います。 また，1 たす 2x を因数分解したとか， 1 たす 2x をくくり出したとも 言うことができます。 これを 2 個の因数に 分解しました。 ではいくつか例題を やってみましょう。 そして，これは私は単純に こう書けると言いましたが， どうしてこのように因数分解 できるとわかったのでしょうか? ではもう一問やりましょう。 そうですね。たとえば，6 ．．． 他の色を使います。 6x があって，たす 3， いや，6x たす 30 にしましょう。 これは面白いです。 これについて考える 1 つの方法は， これらの項のそれぞれを分解して， 共通の因数を見つけることです。 そしてここにあるもの， 6x というのは， これは 6 かける x のことです。 それから 30 があります。 30 は 6 をくくりだせます。 30 は 6 で割り切れます。 6 かける 5 です。 30 は 6 かける 5 と同じです。 こういうふうに書けば， あなたは，「6 をくくり出せるぞ!」 と言うでしょう。 基本的に，これは 分配法則の逆です。 基本的に分配法則を 戻しているのです。 6 をくくりだして，そうすると， 6 をこうやってくくり出すと， 6 かけるカッコの・・・ こちらは x があって， そしてこちらで 6 をくくり 出すと，5 が残ります。 すると 6x たす 30 を 因数分解すると， 6 かける (x たす 5) となります。 これは分配法則を使って， この 6 を分配すれば， 6x たす 5 かける 6 で， それは 6x + 30 です。 ではもう少し興味深いもの， たとえば分数を因数分解する ようなものを考えてみましょう。 新しい色を使うことにします。 では，2 分の 1 ひく 2 分の 3x にしましょう。 ひく 2 分の 3 x です。 どのようにしたらこれを，因数 分解の形に書けるでしょうか? または，何かをくくり 出すことができますか? ここでビデオをポーズして， 自分で考えてみて下さい。 ヒントをあげましょう。 2 分の 1 が因数分解 できるか考えてみて下さい。 こんなふうに書きましょう。 最初の項は 2 分の 1 かける 1 と書けます。 そして，2 番目の項は， マイナス 2 分の 1 かける 3x と書くことができます。 これはそういうものです。 2 分の 3 x は 3x を 2 で 割ったものです。 そしてここでは，2 分の 1 を くくり出せば良いです。 そうすれば，2 分の 1 かける (1 ひく 3x) になります。 これについて考える もう一つの方法は， 「この両方は 2 分の 1 と 何かの積だ。」というものです。 ここのように分数の場合には， ちょっと混乱するかもしれませんが， そう考えてみれば， これらの両方の項を 2 分の 1 で 割ることを考えることができます。 もしこれを 2 分の 1 で割れば， 2 分の 1 割る 2 分の 1 は 1 に等しいです。 そして 2 分の 3 を 2 分の 1 で割れば，3 になります。 そうすれば，2 分の 1 を くくり出すことができます。 この考えでは混乱する かもしれません。 または，こちらの方がわかりやすい という人もいるかもしれません。 しかし，これで式の因数分解の 感覚が少しつかめるといいです。 ではもう 1 問，抽象的なものを 解きましょう。 ax + ay を考えます。 これを因数分解の形にするには どうしたらいいでしょうか? ここで，両方の項が a と何かの 積になっているのを見ると， これを a かける (x+y) と書くことができます。 時々これを，「a を因数分解した」 とか，「a をくくり出した」と言います。 これをかければ，これが 正しいことを確認できます。 もし a を分配すれば， ax + ay です。