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コース: 代数入門 > 単位 13

レッスン 5: 傾き切片標準形の入門

傾き切片標準形の入門

グーグルクラスルーム

2 変数の線形方程式の傾き切片形式について学び，その傾きと y 切片を見つけるためにそれを解釈しましょう。

このレッスンを受ける前にあなたが学んでおくべきこと

あなたは 2 変数の線型方程式 とは何かを知っている必要があります。特に，そのような方程式のグラフが直線になることを知っておく必要があります。もしこれについてまだ学んでいない場合には 2変数の方程式. をチェックしてみて下さい。
あなたは次の線型方程式の性質についても学んでいる必要があります: $y$ ‍ 切片と $x$ ‍ 切片と傾き。

このレッスンで何を学ぶか

2 変数の線型方程式の傾き切片形式とは何か
傾き切片方程式から傾きと $y$ ‍ 切片を求める方法
傾きと $y$ ‍ 切片が与えられた時に直線の方程式を求める方法

傾き切片形式とは何ですか?

傾き切片形式は線型方程式の特別な形です。それは次のような一般の形を持ちます。

y = m x + b

ここで，

m

と

b

は任意の実数です。たとえば，次のような傾き切片形式の線型方程式があります:

$y = 2 x + 1$ ‍
$y = - 3 x + 2.7$ ‍
$y = 10 - 100 x$ ‍
確かにこの方程式は他のものとは違っています。なぜなら定数項，つまり普通の数，が $x$ ‍ の項の前にあります。
しかし，たし算は交換法則が成り立つものです。ですからこれは基本的に同じ形式です。この方程式は $y = m x + b$ ‍ ではなく， $y = b + m x$ ‍ の形式だということもできますが，これらは同じ意味です。

一方，以下の線型方程式は傾き切片形式ではありません:

$2 x + 3 y = 5$ ‍
$y - 3 = 2 (x - 1)$ ‍
$x = 4 y - 7$ ‍

傾き切片形式は線型方程式の形の中で一番よくある形です。なぜそうなのかについてもう少し深く学びましょう。

傾き切片形式の中の係数

傾き切片形式はきちんとして簡潔なだけではなく，それは直線を表す 2 つの主な特徴を与えてくれるという利点があります。

傾きは $m$ ‍ です。
$y$ ‍ 切片の $y$ ‍ 座標は $b$ ‍ です。言いかえれば，直線の $y$ ‍ 切片は $(0, b)$ ‍ です。

たとえば，直線

y = 2 x + 1

は傾き

2

と

y

切片

(0, 1)

を持ちます:

そもそもこれが傾き切片形式と呼ばれる理由は，この形式が傾きと

y

切片を与えるからです。

あなたの理解度をチェックしましょう

問 1

$y = 5 x - 7$ ‍ で表される直線の傾きは何ですか?

問 2

$y = x + 9$ ‍ で表される直線の傾きは何ですか?

問 3

$y = - 6 x - 11$ ‍ で表される直線の $y$ ‍ 切片は何ですか?

問 4

$y = 4 x$ ‍ で示される直線の $y$ ‍ 切片は何ですか?

問 5

$y = 1 - 8 x$ ‍ で表される直線の傾きは何ですか?

問 6

$y$ ‍ 切片が $(0, 4)$ ‍ の直線はどれですか?

確認の質問

傾き切片形式で与えられた直線の傾きはどのようにしたら求められますか?

チャレンジ問題 1

このうちのどれが直線の方程式になれますか?

チャレンジ問題 2

傾きが $10$ ‍ で $y$ ‍ 切片が $(0, - 20)$ ‍ の直線の方程式を書いてください。

なぜこれが上手くいくのでしょうか?

もしかしたらあなたは傾き切片形式がどうしてそうなっているのかと思うかもしれません。つまり，

m

が傾きになって，

b

が

y

切片を与えるのはどうしてなのかと。

これはある種の魔法なのでしょうか? いや，もちろんこれは魔法ではありません。数学ではいつも理由があります。この節では方程式

y = 2 x + 1

を例として見ていくことにしましょう。

なぜ $b$ ‍ が $y$ ‍-切片を与えるか

y

切片では

x

の値は常に 0 です。するともし

y = 2 x + 1

の

y

切片を求めたければ，

x = 0

を代入して

y

について解きます。

\begin{aligned} y & = 2 x + 1 \\ = 2 \cdot 0 + 1 & x = 0 を代入 \\ = 0 + 1 \\ = 1 \end{aligned}

y

切片では

2 x

が 0 になります。ですから，

y = 1

が残ります。

なぜ $m$ ‍ が傾きを与えるのでしょう

直線の傾きとは正確に何だったのかを思い出しましょう。傾きとはある 2 点間にひかれた直線の

y

の変化と

x

の変化の比でした。

傾き = \frac{y の変化量}{x の変化量}

もし，

x

の変化がちょうど

1

単位の 2つの点をとると，

y

の変化は傾き自身と等しくなります。

傾き = \frac{y の変化}{1} = y の変化

では，

x

の値が

1

ずつ一定に増加する時に方程式

y = 2 x + 1

の

y

の値がどうなるかを見てみましょう。

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$1 + 0 \cdot 2$ ‍	$= 1$ ‍
$1$ ‍	$1 + 1 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2$ ‍
$2$ ‍	$1 + 2 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2$ ‍
$3$ ‍	$1 + 3 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2$ ‍
$4$ ‍	$1 + 4 \cdot 2$ ‍	$= 1 + 2 + 2 + 2 + 2$ ‍

x

が

1

単位増加するときにはいつでも，

y

は

2

単位増加することがわかります。これは，

y

の計算の時に

x

にかかっている

2

がその増加量を決めているからです。

上で述べているように

x

が

1

単位増加した時の

y

の変化量は直線の傾きに等しいです。そのため，傾きは

2

になります。

一般的な形の方程式

y = m x + b

で，

x

の値が

1

単位ずつ一定に増えていくときに

y

の値がどうなるかについてみていきましょう。

$x$ ‍	$y$ ‍
$0$ ‍	$b + 0 \cdot m$ ‍	$= b$ ‍
$1$ ‍	$b + 1 \cdot m$ ‍	$= b + m$ ‍
$2$ ‍	$b + 2 \cdot m$ ‍	$= b + m + m$ ‍
$3$ ‍	$b + 3 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m$ ‍
$4$ ‍	$b + 4 \cdot m$ ‍	$= b + m + m + m + m$ ‍

x

が

1

単位増加するときにはいつでも，

y

は

m

単位増加することがわかります。これは，

y

の計算の時に

m

の倍数を

x

が決めるからです。

上に示されているように，

x

の

1

単位の増加に対応する

y

の変化は直線の傾きに等しいです。このため，

m

はいつも傾きを与えます。

チャレンジ問題 3

直線の方程式を完成させてください。

y =

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