傾き切片標準形の入門

線形方程式，または 1 次方程式を 表すにはたくさんの 異なった方法があります。 例えば，y = 2x+3 という 線形方程式ですが， これはひとつの表し方です。 しかしこれは他にも無限の 方法で表せます。 見てみましょう。 たとえば，2x を両辺からひいて -2x+y=3 と書き換えることができます。 この式を操作することが できるということです。 これは同じものを他の方法で 書いたものです。 (y-5) が 2(x-1) に等しい。 実はこれを簡単化すれば， この式やこの式になります。 これらはすべては等価なもので， 論理的な代数操作に よって変換できます。 ですから無限の方法の表し方で 任意の線形方程式を 書くことができます。 しかしこのビデオで 私が話したいことは この特定の表現です。 なぜならこれはとても便利な 線形方程式の表し方で 後のビデオでもでてくると思います。 これとやこれも目的によっては 便利ですけれども 今回はこれに注目しようと思います。 この表し方はしばしば 傾き切片形式と呼ばれます。 傾き切片形式です。 これからこれがなぜそう呼ばれるか 説明したいと思います。 説明する前にちょっとこれを グラフにしてみましょう。 これをグラフに描いてみます。 いくつの点をグラフに プロットしてみましょう。 x と y があって，ここで いくつかの x を選んで， その時の y の値を計算しましょう。 多分一番簡単なのは x が 0 の時で x が 0 の場合は， 2 倍しても 0 なので， この項がなくなり， この項だけになります。 すると，y は 3 に等しいです。 y は 3 に等しいです。 これをグラフにプロットすると， そうですね。もうグラフを描いてみましょう。 これが y 軸で， そして，こちらを x 軸にします。 これが x に… ちょっとこれは水平ではなかったですね。 これでいいでしょう。 これが x 軸です。 目盛りをいくつかつけます。 これが x が 1 の点， x = 2，x ＝ 3。 そして，これが y が 1 に等しい（点） これが y = 1，y = 2， y = 3 の点です。 これをずっと続けることができます。 ここは y イコール -1 で， こちらは x イコール -1， -2， -3 と続きます。 ですからこの点， (0, 3) は x が 0 で y が 3 の点です。 この点は，x が 0 に等しく y が 3 に等しいことを表す点です。 これは y 軸上にあります。 もしこれを通る直線があれば， この直線はこの点を含むので， これが y 切片になります。 これが傾き切片形式と呼ばれるのは この式から y 切片を見つけるのが とても簡単だからです。 この形式には y 切片が 直接書かれています。 x が 0 に等しい時には y の値は 3 に等しいです。 それはこの点です。 ですからこの形式では y 切片は 簡単にわかります。 また，名前が傾き切片形式なので， 傾きを見つけるのも簡単だと 思うかもしれません。 実はその通りです。 それも見てみましょう。 まずは，もっと点をプロットしましょう。 x を 1 ずつ増やします。 x を 1 増やした時， デルタ x と書いて， x の変化量を表わします。 この 3 角形がギリシャ文字のデルタで， 変化量の意味です。 ここでは x を 1 変化させました。 x を ⁺1，増やしたのです。 それに対応する y の変化量は何ですか? y の変化量，デルタ y は何か? x が 1 に等しい時は， 2 かける 1 に 3 をたすと 5 に等しいです。 すると，y の変化量は 2 です。 もう一度やってみましょう。 x をさらに 1 増やすと， x の変化量，デルタ x は 1 で そうすると x は 1 から 2 になります。 これに対応する y の変化量は 何でしょうか? まずは y の値（を求めましょう）。 2 かける 2 は 4 で，それに 3 を たすと y の値は 7 です。 y の変化量は 2 です。デルタ y は 2 です。 5 から 2 増えました。 x が 1 から 2 へ増えると y は 5 から 7 に増えています。 x が 1 増えるごとに y は 2 増えています。 すると，この線形方程式では y の変化量… y の変化量割る x の変化量は いつも一定です。 y の変化量は 2 で， x の変化量が 1 で， これは 2 に等しいです。 そしてこれは傾きが 2 に 等しいとも言えます。 これをグラフにしてちょっと 理解できたか確かめましょう。 x イコール 1 の時，y イコール 5です。 グラフは 5 はもっと上になります。 x イコール… 実はこれはもうちょっと上で， 書き直して… 少しこう消しておきましょう。 すると，ここは y が 4 で， ここは y は 5 に等しいところです。 x が 1 の時，y が 5 です。 ですからこの点です。 直線は 2 点あれば定義できます。 ですから直線をひきましょう。 ちょっと色を付けて…。 直線を引くとこんな感じです。 グラフの直線は，こんな感じで… 軸が手書きなので正しい縮尺では 描くことができませんが， 直線はこんな感じです。 これがこの式の直線です。 y=2x+3 です。 ただし，傾きはもう 2 に 等しいとわかっています。 x を 1 変化させると y が 2 変化します。 もし x を -1 変化させると， つまり x の変化量が -1 の時には， y の変化量は -2 です。 それはこのグラフにあります。 (x が) 0 から 1 減って， -1 になった時， y が何になるか? 2 かける -1 は -2 で それに 3 をたすと 1 です。 ですから点 (-1, 1) も この直線上にあります。 傾きは y の変化量割る x の変化量で この直線上の任意の 2 点を取ると いつでも傾きは 2 になっています。 しかし，この元の式のどこに 2 がありましたか? 2 はここです。 傾き切片形式で書くと 明示的に y について解かれていて y は x の 1 乗になにか定数をかけ， それにある定数をたしたものに 等しいです。 このとき 2 つ目の定数が y 切片になっています。 この点が y 切片自身です。 直線が y 軸と交差する点です。 そしてこの 2 が傾きを表します。 x を 1 増やすたびに y が 2 増えるのは ここから来ていて，これを 傾きと呼んでいるのです。 すると y は 2 ずつ増えます。 これで傾き切片形式について より理解できたのではないでしょうか。 たぶんあなたは…， 少なくとも私にとっては， グラフについて考えるとき， この形式が一番簡単な形式です。 例えば他の線形方程式が 与えられた時を考えると， そうですね， y=-x+2 とすると， これを見てすぐ y 切片が 点 (0, 2) だとわかります。 すると y 軸との交差点はここです。 そして傾きはこの係数で -1 です。 傾きは -1 です。 なので，x が 1 増えると y は -1 増える，つまり １ 減ります。 x が 1 増えると，y は 1 減る。 x が 2 増えると，y は 2 減ります。 ですからこの式の 直線はこんな感じです。 うまく描ければいいのですが… もう少しきれいに描いてみます。 グラフの軸が手書きなので 難しいのですが， わかってもらえると思います。 こんな感じですね。 こんな感じです。 傾き切片形式からは，y 切片が 何かは簡単にわかります。 そして傾きもすぐわかります。 傾きは -1 です。 ここにあります。ここにある -1 が傾きです。 そして y 切片はここで， この (0, 2) の点です。 その情報はここにもうあるのです。