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実例: グラフからの傾き

傾きは走った分の登りです。x の変化と y の変化を求めることでグラフの直線の傾きを計算する方法を学びましょう。 Sal Khanテクノロジーと教育のためのマネタリー財団 により作成されました。

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このグラフの(直線の) 傾きを求めましょう。 ちょっとおさらいですが,「傾き」とは この直線がどれくらい 「急か」を言うものです。 一番良さそうな説明は, 傾きとは y の変化量割る x の変化量に等しいです。 直線の場合,傾きは いつも一定の値です。 時々あなたはこういう記号も 目にするでしょう。 この 3 角形はギリシャ文字の大文字 のデルタで,変化量の意味です。 y の変化量割る x の変化量をこう書きます。 これは y の変化量割る x の変化量を ファンシーな方法で書いただけです。 では x がある値変化した時の y の変化量は何か見てみましょう。 まず,どこか適当な点から始めます。 それはこのグラフで読みやすい点, ここにしましょう。 ちょっと,もう少しはっきりした色にします。 では,この点から始めたとしましょう。 そして他の点に行きますが, ここの読みやすい点にしましょう。 この直線上であればどんな 2 点を選んでもかまいません。 私は座標が整数に なっている点を選びましたが, それは読みやすいからです。 では,y の変化量と x の 変化量は何ですか? まず x の変化量を見ていきましょう。 ここからここまで行けば, x の変化量は何ですか? ここでの x の変化量,デルタ x は, 数えてみればいいですね。 1 ,2,3 動いたので, x の変化量は 3 です。 x の値からもそれはわかります。 -3 から 0 に行ったので, 3 移動しました。 すると x の変化量は 3 です。 これを書いておきましょう。 x の変化量,デルタ x は 3 に等しい。 では y の変化量は何ですか? y は -3 から -1 まで動いています。 ですから数えれば,1, 2 です。 y の変化量は +2 に等しいです。 それも書いておきましょう。 デルタ y は 2 に等しい。 では y の変化量割る x の変化量は何ですか? x の変化量が 3 で y の変化量が 2 。 これが傾きです。 ではここで私はどんな 2 点を 選んでも良いことをお見せしましょう。 そうですね。さっきとは違う点。 これをまず消します。 同じ点はやめておきましょう 違う点にします。 また,違った方向に 行くこともできます。 それでも同じ答えになることを お見せしたいと思います。 ではこの点を最初の点にして, こっちに行くことにします。 変化量とだけしか言っていないので 増えても減ってもいいはずです。 では,y の変化量を先に考えましょう。 y は何単位下がったでしょうか? 1, 2, 3, 4 単位です。 するとこの例での y の 変化量は -4 です。 1 から -3 まで行きましたので -4 です。 これが y の変化量です。 y の変化量,デルタ y は -4 です。 では x の変化量は何ですか? この点から,この左の 点までずっと行きます。 ちょっと違う色にしましょう。 ずっとここまで戻っています。 左に行くので x の変化量は負です。 1, 2, 3, 4, 5, 6 単位戻っています。 すると x の変化量は, デルタ x は -6 に等しいです。 デルタ x は -6 に等しい。 x が 3 に等しいところから始めて -3 に等しいところまで動いたので, 変化量は -6 です。 左に 6 行ったので -6 の 変化量といってもいいです。 すると y の変化量割る x の変化量は何ですか? y の変化量割る x の変化量, これは-4 割る -6 です。 負はキャンセルされて, 4 割る 6 は 2 割る 3 です。 するとこれは同じ値です。これは 一貫していないとおかしいです。 ここが始めの点として 4 下がり, それから 6 戻るとすると, -4 割る -6 です。 または,こここから始めて,4 上がって,… すると y の変化量は 4 で, そして x の変化量は こちらに行くと 6 です。 ⁺6,デルタ x は 6 です。 どちらにしても,y の 変化量割る x の変化量は 4 割る 6,つまり 2 割る 3 です。 ですからどんな点を選んでも, 同じ直線ならば 傾きの値は同じです。