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水平線の傾き

2点が同じ y の値を持つ場合,それは水平線であることを意味します。そのような直線の傾きは 0 です。そして,これは傾きの式を使っても求めることができます。 Sal Khanテクノロジーと教育のためのマネタリー財団 により作成されました。

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次の順序対の点を通る 直線の傾きを求めましょう。 (7,-1) と (-3, -1) です。 この直線がどんなものか 可視化できるよう ここにグラフを描きましょう。 グラフを描いてみます。 まずは (7, -1) です。 ですから 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。 ここは x 軸です。 (7, -1) ですね。 ここは x が 7 で, カンマの (y が) -1 です。 こちらは y 軸です。 次の点は (-3, -1) です。 ですから水平方向に 3 戻ります。 1, 2, 3。 x が -3 のときの y 座標がまた -1 です。 この 2 個の点をつなぐと こんな感じになります。 こんな感じです。 では,この 2 個の点を通る この直線の傾きが問われています。 この直線の傾きを見つけましょう。 ちょっとした直感ですが, 傾きとは直線の上り具合を 数で表したものです。 傾きの定義は 上昇割る横移動, または y の変化量 割る x の変化量で ときにはこれを変数 m で 書くこともあります。 それはまた y の変化量, つまり 2 点めの y 座標の値から 1 点目めの y の値をひき それ割る x の変化量ですから, 2 点めの x の値から 1 点めの x の値をひいています。 これらは全部違って見えますが, 全部傾き,上り具合を測っている ことを理解してください。 少しの横移動で上に 大きく上昇すれば, これは 少しの x の移動で たくさん上がるので とても急な上り坂になります。 急な上向きの傾きの直線になります。 横移動したときに あまり変化がなければ 傾きは低くなります。 実際にそれがここで見れます。 ここから始めて… これを始点とします。 こちらは,... いや,こちらの方を始点としましょう。 この (-3, -1) が始点で (-3, -1) から始めて,(7,-1) へ行きます。 かなり横移動します。 この x の値は -3 から 7 まで ずっと行きます。 x の変化量はここでは 10 です。 x の変化量は 10 です。 -3 から 7 に行くと, x の値の変化は 10 あります。 ではこの時の y の値の 変化は何でしょうか? ここでの y の値は -1 で こちらの y の値も同じく -1 です。 つまり,y の変化量は 0 です。 x がどれだけ変わっても, y の値は全く変化していません。 ですからこの傾きですけれども, つまり,10 横移動した ときの上昇は何かです。 y の変化量は何でしたか? 全く上昇していません。 上にも下にも行きません。 ですからこの傾きは 0 です。 考え方を変えれば,この直線には 傾きがありません。 全く水平,水平線です。 これは意味が通るでしょう。 この傾きは 0 です。 確認のために 他の式でも見てみることにしましょう。 はっきりしておきたいのですけれども, これら上昇割る横移動, y の変化量割る x の変化量では 全部上がり具合を示しているので, 全部同じものです。 他のものでも試してみれば, わかると思います。 傾きとは y の変化量を x の変化量で割ったもので, こちらを始点として こちらを終点としましょう。 これが x1 でこちらが y1 としましょう。 こちらが x2 で,こちらが y2 になります。 これを始点で, これを終点としました。 この傾きは y の変化量, つまり (y2-y1), つまり -1-(-1) です。 それ割る x2,それは -3 で, ひく x1,それは 7 です。 すると分子は -1-(-1) で, -1+1 と同じです。 分母は -3-7 ですから, -10 です。 もう一度 -1+1 は 0 で, これを -10 で割っています。 これでも 0 です。 ところで,こちらが -10 でこちらが +10 だったのはなぜかというと 始点と終点を入れ替えたからです。 この例では,これを始点とし こちらを終点としました。 こちらの例では 点が入れ替わって (7,-1) が始点で (-3,-1) を 終点としました。 ここから始めると x の変化量は -10 です。 しかし y の変化量は 0 のままです。 どれで計算してもこの 直線の傾きは 0 です。 これは水平線でした。