もしあなたがこのメッセージを見たのであれば,私達のサイトの外部リソースの読み込みで問題が発生しています。

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

メインのコンテンツ

傾き切片形式問題

傾き切片形式で方程式を書く方法を含む問題を解く方法を学びましょう。  Sal Khan により作成されました。

会話に参加したいでしょうか?

まだ投稿がありません。
英語は理解できますか? ここをクリックしてカーンアカデミーの英語のサイトでのさらなる議論を見て下さい。

ビデオのトランスクリプト

このビデオでは直線の方程式を 傾き切片標準形で表す 練習をたくさんしましょう。 傾き切片標準形とは,直線の方程式が y = mx + b で表されている形のことで, m を傾き,そして b は y 切片を表します。 では,たくさん問題をやっていきましょう。 まず,この問題は,直線の傾きが -5 だと言っているので m は -5 に等しいです。 そして y 切片は 6 ですから, b ⁼ 6 です。 ですから,これはかなり簡単です。 この直線の方程式は y = -5x + 6 です。 そんなに難しくなかったですね。 では,次の問題をやってみましょう。 この直線の傾きは -1 で, 点 (4/5, 0) を含みます。 傾きは -1 だと言っていますから, m は -1 だともうわかります。 でも y 切片が何かはまだ分かりません。 ただ,傾き m が -1 なので, この直線の方程式は y = -1x + b と書くことができます。 まだわからない y 切片は b と書きました。 さて,この直線はこの点を 含んでいるという情報があるので, その情報を使って方程式を b について解きます。 この直線がこの点を含んでいるというのは x = 4/5 , y = 0 が直線の 方程式を満たすということです。 ですからこれらを代入しましょう。 y が 0 で x が 4/5 に等しいです。 ですから -1 かける 4/5 たす b です。 ちょっと下にスクロールしましょう。 すると,0 = -4/5 + b となるので, 方程式の両辺に 4/5 をたしましょう。 右辺に 4/5 を足して 左辺にも 4/5 をたします。 4/5 を両辺にたした理由は, この -4/5 を消すためです。 すると b = 4/5 です。 これで直線の方程式を 書くことができます。 y イコール,... -1 x は -x と書いて... + b は 4/5 でした。 これがこの直線の方程式です。 では次の問題にいきましょう。 この直線は点 (2,6) と (5,0) を含んでいます。 この問題では傾きも切片も 明示的には与えられていません。 ですがこれらの座標を使って傾きと 切片を求めることができます。 まずは傾きを求めましょう。 (傾き) m は y の変化量割る x の変化量です。 y の変化量はどれだけですか? こちらの点から始めましょう。 6 ひく 0 。6 ひく 0 ですが, 分かりやすいように こちらの点を黄色で, こちらの点はマジェンタ色で 色分けしましょう。 6 ひく 0,が y の変化量です。 x の変化量は,2 ひく 5 です。 なぜ色分けしたかというと, どちらからどちらをひいたかを 分かるようにするためです。 このように最初に黄色の y を持ってきた場合には, x も黄色を最初に 持ってこないといけません。 黄色で書いたのは点 (2,6) で, こちらは,点(5,0) を表しています。 この 2 と 5 をひっくり 返すことはできません。 そうすると答えの正負が 逆になります。 さてどうなるか? 6 ひく 0 は 6 で, そして,2 ひく 5 は -3 ですから, マイナスを先に書いて,- 6/3 , それはつまり -2 と同じです。 これがこの直線の傾きです。 これで直線の方程式を表すと, y イコール-- 傾きは -2... かける x たす b です。 これは y 切片の b です。 ここからはさっきと同じです。 これらの点のうち 1 つを使って, b について解きます。 どちらの点でも良いです。 両方ともこの直線上にあるので, どちらもこの方程式を満たします。 私は (5,0) の方を使います。 なぜなら 0 を含んでいるものの方が 計算が楽だからです。 では (5,0) を代入しましょう。 y が 0 で x が 5 ですから y が 0 で,イコール -2 かける 5-- それにたすことの b です。 すると 0 = -10 + b です。 方程式の両辺に 10 をたします。 するとこれらがキャンセルされて, b = 10 + 0,つまり b = 10 です。 これでこの直線の方程式が書けます。 方程式は y イコール--, y = -2x + b,b は 10 でした。 できました。 では次の問題をやってみましょう。 もう一問。 この直線は点 (3,5) と (-3,0) を含んでいます。 今さっきやった問題と同じように, 傾き m を求めるところから始めましょう。 傾きです。それは m で, 上昇割る横移動です。 それは y の変化量割る x の変化量と同じです。 宿題でこの問題をやっている人は, これらを全部書く必要はありません。 私はこれらが全部同じことだと, 確実にわかって欲しいだけです。 では y の変化量割る x の変化量の値は何ですか? こちらの点から始めましょうか。 どちらの点から始めても 良いことを見せたいです。 0 ひく 5 ... 私は,こちらを「始点」, こちらを「終点」にします。 私がこれを最初に習った時, ついつい x を分子に持って きたのを思い出します。 でもそれは間違いです。 分子に来るのは y です。 これが終点の座標から 持ってきた y の値で, それ割る,-3 ひく 3 です。 こちらが点の座標 (-3,0) で こちらが点の座標 (3,5) です。 ひき算をしましょう。 するとどうなるか? これがどうなるかと言うと--, もう少しニュートラルな色を使って, これは -5 で 分母は -3 ひく 3 で -6 です。 すると負の記号がキャンセルされて, 5/6 になります。 これを傾き切片標準形の 方程式にすると, y = 5/6x + b です。 あとはこれら 2 つの座標の 1 つを使って b について解けば良いです。 私はもしあれば,いつも 0 が ある座標が好きです。 ですから y = 0 の時, x が -3 です。 5/6 かける -3 たす b。 これは単に x に -3 を y に 0 を代入しただけです。 こうできるのは,この点が この直線上にあるので, この座標はこの方程式を 満たしているはずだからです。 では b について解きましょう。 0 イコール--,... するとこの 3 を 3 で割って1, 6 を 3 で割ると 2 です。 すると右辺は -5/2 + b です。 方程式の両辺に 5/2 をたします。 たす 5/2,たす 5/2 さっきと違う書き方ですが, こういう表記もあるので 慣れて欲しいと思います。 それで,方程式は 5/2 = これは消えて b です。 b イコール 5/2 です。 ですからこの直線の方程式は y = 5/6x + b, b は今 5/2 だと分かりました。 たす 5/2 です。 できました。 もう 1 問解きましょう。 今度はグラフがあります。 このグラフの直線の 方程式を求めましょう。 これは実はある意味 簡単かもしれません。 傾き m は y の変化量 割る x の変化量で, これがどうなるかというと, x が 1 動いた時… これが x の変化量です。 x の変化量は 1 です。 私はここで x を 1 変化, 1 の増加を「選び」ました。 この時の y の変化量は何でしょうか? この時 y はちょうど 4 変化するようです。 デルタ y は 4 に等しいです。 この時の x の変化量は 1 です。 デルタ x が 1 です。 y の変化量割る x の変化量は, y の変化量は 4 で, x の変化量が 1 なので, 傾きは 4 に等しいです。 では y 切片は何でしょうか? グラフを見てみると,この 直線が y 軸と交わるのは y が -6 に等しい所, つまり点 (0, -6) です。 これで b は -6 に 等しいと分かりました。 b は -6 です。 ですからこれで直線の 方程式が書けます。 y イコール傾きの 4 かける x たすことの y 切片… ちょっとこう書いた方がいいですね。 -6。これはたす -6 ですが, -6 と(だけ)書くことができます。 これがこの直線の方程式です。 もう一問解きましょう。 f(1.5) = -3 と f(-1) = 2 と言っています。 これはどういうことでしょうか? これは難しい表記を 使っているだけで,実は単に x が 1.5 をこの関数に入力すると, x つまり x に 1.5 を代入すると 関数評価されて -3 が 出力されるという意味です。 すると座標 (1.5, -3) が示す点は この直線上にあります。 こちらは x が -1 の時 f(x) は 2 と言う意味です。 これは難しい言い方はしていますが, この 2 点がこの直線上に あるというだけです。 本当は f が直線の式と 断わった方がいいですけれども, 今回は直線の問題なので f は 直線の関数と仮定しましょう。 こういう問題にしたのは, 関数表記に驚かず, 慣れて欲しいということでしょう。 ただ,関数表記の方が 便利に感じるのは 多分もう少し後になるでしょうね。 この関数を x が 1.5 で 評価すると -3 になります。 つまり y = f(x) だと考えれば これは y の値です。 x が 1.5 に等しい時に y は -3 に等しい。 では,傾き m を求めましょう。 傾きは y の変化量割る x の変化量ですから これは,この 2 ひくこれです。 -3。 これらは y の値で,それ割る -1 ひくこちらです。 -1 ひくこれ,-1.5…1.5 です。 なぜこういうふうに 色分けしたかというと, -1 と 2 はこちらの点だと はっきりさせたいからです。 もしこの点を最初に持ってきたら, x も y もこちらの値を 持ってくる必要がありました。 座標の値は縦に並んでいる のに注意してください。 これが色分けした理由です。 これは 2 ひく -3 ですから, それは 2 たす 3 と同じで,5 です。 すると,-1 ひく 1.5 は -2.5。 すると,この直線の傾きは -2 です。 そうですね。ちょっと下で どちらの点を最初に持ってきても 良いことをお見せしましょう。 もしこちらを始点とすれば, 逆の座標を先に使う必要があります。 さっきと逆をやりましょう。 -3 ひく 2 割ることの 1.5 ひく -1 おっと,ひくはこっち (の色) です。 1.5 ひく -1 です。 これは同じ値になるはずです。 これは何に等しくなるか? -3 ひく 2 で -5 です。 それ割る 1.5 ひく -1 , それは,1.5 たす 1 ですから, 割る 2.5 です。 すると先ほどと同じで -2 です。 ここではどちらを始点, または終点に選んでも 一貫していればかまわない ことを見せたいです。 色分けしているのを見ると同じ色が 傾きの式では縦に並んでいる のがわかるでしょう。 とにかく,傾きは -2 だとわかりました。 すると方程式は y イコール -2 x プラス y 切片 b です。 ではこれらの座標の 1 つを使います。 私はこちらの点を選びます。 小数点がないので 簡単そうだからです。 y は 2 に等しく,2 イコール -2 かける x,x は-1 でした。 もちろんプラス b を忘れずに。 すると 2 イコール -2 かける -1 は 2 で,たす b です。 両辺から 2 をひきます。 すると左辺は 0 で, それが b に等しくなります。 すると b は 0 です。 するとこの直線の方程式は y = -2x です。 もし関数表記を使いたいなら f(x) = -2x です。 ここではことわりはなかったのですが, y = f(x) と仮定しました。 とにかくこれが方程式です。 この問題は y については 何も言っていませんので, f(x) = -2x 書けばいいでしょう。 これらの座標も,(x, f(x)), こちらも (x, f(x)) です。 傾きの表記も f(x) を使って f(x) の変化量割る x の変化量と 書くことができます。 これらは全部同じ, 傾きを表しています。