式の値の直感

このビデオで私がしたいことは， ある変数の値が変化する時に， 式の値がどのように変化 するかを見ることです。 では，簡単な式から 始めましょう。 式 100 - x があるとしましょう。 x が増える時に，この式の値は どんなふうに変化するかを 知りたいと思います。 x が増える時です。 いつものように，私が 解いてみせる前に， ここでビデオをポーズして 自分で解いてみて下さい。 では，これについてはいくつか の方法で考えることができます。 これは，「100 があって x をひいている」と言えます。 ここで x が増加するにつれ， より大きな値をひくことになります。 すると，ひく値が どんどん大きくなると， そうすると得られる値は どんどん小さくなります。 するとこの全体は，減ります。 この全体は減少します。 そして，もしこれをもう少し 具体的なものにするなら， 実際にいくつかの値 を試すことができます。 表を作ってみましょう。 x と，それから 100 - x が 何になるか? いくつかの x の値を 選びましょう。 ｘ を増加させます。 0, 50, 100 だとしましょう。 x が 0 なら，100 - x は 100 ひくゼロで 100 です。 x が 50 の時には，100 - 50 ですから，50 です。 そして，x が 100 の時には 100 - 100 ですから 0 です。 これでよりはっきりしました。 x が増加するにつれて， こちらには増加と 書いておきます。 x が増加すると， 100 - x は減少する。 減少しているのが見えます。 ではちょっと違った形のものを もう何問か解いてみましょう。 では，式，x 分の 5 たす 5 があって， x は減少していくとしましょう。 x は減少しますが， 減少する間， 正の値のままだとしましょう。 0 よりは大きいままとします。 x が 0 よりも大きいと ことわっておきましょう。 この場合，たとえば， x が 10 から 9 に減る， または 100 万から 10 万でもいいですが， しかし減少する間は 正の値を常にとるとしましょう。 ではこれを考えてみます。 割る数は正のまま， どんどん小さくなります。 すると，分母により小さな 正の値があるとすると，・・・ 正の値がどんどん小さくなる・・・ 分母の正の値が どんどん小さくなる・・・ その場合にもし，より 小さな正の値で割れば， この x 分の 5 はどんどん大きく なることは知っていますね。 より小さな正の数で割ると， この式全体は大きくなります。 ですから，x 分の 5 という 式が大きくなる時， それに 5 をたしているので， この全体も増加します。 この全体は，x が正の まま減少するにつれ， 増加していきます。 もう一度，ここで表を 作ってみましょう。 x と，5 割る x たす 5 です。 いくつかの x の値を試しましょう。 x がたとえば 100 の時， x が 5 の時， そして x が 1 の時を見ましょう。 x は確かに減っています。 x が 100 の時 100 分の 5 たす 5 ですから， 100 分の 5 は 0.05 ですから 5.05 です。 そして x が 5 の時， 5 割る 5 は 1 です。 1 たす 5 ですから 6 です。 x が 1 の時，5 割る 1 は 5 なので， 5 たす 5 で 10 です。 注意して下さい。x は正の ままで，減少していきます。 その時，この式全体， 5 割る x たす 5 は， (その一方) 増加していきます。 もう 1 問解いてみましょう。 では，式は・・・ 今度は違う変数で 考えましょう。 3y 割る 2y ，2y 分の 3y にしましょう。 y が増加するとき，この式の値が どうなるかに興味があります。 y が増加するときです。 その時この式の値は どうなりますか? そうですね。分子の y が 大きくなる時， こちらの分母の y も 大きくなります。 これを考える一つの方法は， これが 3 割る 2 かける y 割る y と考えることです。 この y が何であれ， 0 でない限りは， ああそうですね。0 には ならないことを仮定しましょう。 0 になるとこれは定義されません。 ですから簡単のために， y が 0 よりも大きい範囲で 増加するとしましょう。 すると，y はここでは正です。 そして 0 でない値の場合， y をとって y で割ると， 1 になります。 y 分の y は 1 です。 すると y が何であっても 関係ないです。 y が 100 万の時，100 万割る 100 万は1 で y が 5 の時，5 分の 5 は 1 です。 この式の値は変化しません。 いつでも 2 分の 3 のままです。 するとこの式の値は， いつも同じです。 y は正の値のまま増加しても， 変化はありません。