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代数入門
式の値の直感
100-x, 5/x + 5, (3y)/(2y) のような代数式の値がその変数の値の変化によってどのように変化するかを見てみましょう。
ビデオのトランスクリプト
このビデオで私がしたいことは, ある変数の値が変化する時に, 式の値がどのように変化
するかを見ることです。 では,簡単な式から
始めましょう。 式 100 - x があるとしましょう。 x が増える時に,この式の値は どんなふうに変化するかを
知りたいと思います。 x が増える時です。 いつものように,私が
解いてみせる前に, ここでビデオをポーズして
自分で解いてみて下さい。 では,これについてはいくつか
の方法で考えることができます。 これは,「100 があって
x をひいている」と言えます。 ここで x が増加するにつれ, より大きな値をひくことになります。 すると,ひく値が
どんどん大きくなると, そうすると得られる値は
どんどん小さくなります。 するとこの全体は,減ります。 この全体は減少します。 そして,もしこれをもう少し
具体的なものにするなら, 実際にいくつかの値
を試すことができます。 表を作ってみましょう。 x と,それから 100 - x が
何になるか? いくつかの x の値を
選びましょう。 x を増加させます。 0, 50, 100 だとしましょう。 x が 0 なら,100 - x は
100 ひくゼロで 100 です。 x が 50 の時には,100 - 50
ですから,50 です。 そして,x が 100 の時には
100 - 100 ですから 0 です。 これでよりはっきりしました。 x が増加するにつれて, こちらには増加と
書いておきます。 x が増加すると,
100 - x は減少する。 減少しているのが見えます。 ではちょっと違った形のものを もう何問か解いてみましょう。 では,式,x 分の 5
たす 5 があって, x は減少していくとしましょう。 x は減少しますが,
減少する間, 正の値のままだとしましょう。 0 よりは大きいままとします。 x が 0 よりも大きいと
ことわっておきましょう。 この場合,たとえば,
x が 10 から 9 に減る, または 100 万から
10 万でもいいですが, しかし減少する間は
正の値を常にとるとしましょう。 ではこれを考えてみます。 割る数は正のまま,
どんどん小さくなります。 すると,分母により小さな
正の値があるとすると,・・・ 正の値がどんどん小さくなる・・・ 分母の正の値が
どんどん小さくなる・・・ その場合にもし,より
小さな正の値で割れば, この x 分の 5 はどんどん大きく
なることは知っていますね。 より小さな正の数で割ると, この式全体は大きくなります。 ですから,x 分の 5 という
式が大きくなる時, それに 5 をたしているので, この全体も増加します。 この全体は,x が正の
まま減少するにつれ, 増加していきます。 もう一度,ここで表を
作ってみましょう。 x と,5 割る x たす 5 です。 いくつかの x の値を試しましょう。 x がたとえば 100 の時, x が 5 の時, そして x が 1 の時を見ましょう。 x は確かに減っています。 x が 100 の時 100 分の 5 たす 5 ですから, 100 分の 5 は 0.05
ですから 5.05 です。 そして x が 5 の時,
5 割る 5 は 1 です。 1 たす 5 ですから 6 です。 x が 1 の時,5 割る 1
は 5 なので, 5 たす 5 で 10 です。 注意して下さい。x は正の
ままで,減少していきます。 その時,この式全体,
5 割る x たす 5 は, (その一方) 増加していきます。 もう 1 問解いてみましょう。 では,式は・・・ 今度は違う変数で
考えましょう。 3y 割る 2y ,2y 分の 3y
にしましょう。 y が増加するとき,この式の値が
どうなるかに興味があります。 y が増加するときです。 その時この式の値は
どうなりますか? そうですね。分子の y が
大きくなる時, こちらの分母の y も
大きくなります。 これを考える一つの方法は, これが 3 割る 2 かける y 割る y と考えることです。 この y が何であれ, 0 でない限りは, ああそうですね。0 には
ならないことを仮定しましょう。 0 になるとこれは定義されません。 ですから簡単のために, y が 0 よりも大きい範囲で
増加するとしましょう。 すると,y はここでは正です。 そして 0 でない値の場合, y をとって y で割ると,
1 になります。 y 分の y は 1 です。 すると y が何であっても
関係ないです。 y が 100 万の時,100 万割る
100 万は1 で y が 5 の時,5 分の 5 は
1 です。 この式の値は変化しません。 いつでも 2 分の 3 のままです。 するとこの式の値は,
いつも同じです。 y は正の値のまま増加しても,
変化はありません。