項，因数，係数

このビデオで私がしたいことは， 式がどのように作られているかと， 式の部分を表すための 言葉について考えることです。 なぜそういうことを学ぶかですが， それはある式を誰かと 一緒に見て， 私は 2 番目の項に 賛成できない，とか 3 項目には 4 つの 因数があるとか， なぜこの項の係数は 6 なのかと言うことで， 他の人たちの言っていることが わかるからです。 数学は言語なので そうやって他の人との コミュニケーションが できるのは重要です。 ではこれらの言葉が何を 意味しているのか考えましょう。 ここには「式」があります。 最初に考えたいことは， 式の「項」とは何か? です。 実は式とは何かも重要ですが， それは項を使って定義します。 これを考える 1 つの方法ですが， 式の項というものは 式の中でたされたりひかれたり しているもののことです。 たとえば，ここにあるこの式では， 3 つのものがたされたり， ひかれたりしています。 最初のものは，2 かける 3 です。 それに 4 をたして それから，7y をひいています。 するとこの例では， 3 個の「項」があります。 最初の「項」は「2 かける 3」です。 2 番目の「項」は数 4 です。 そして 3 番目の「項」は 「7 かける y」です。 では，次に「因数」という 言葉を考えてみましょう。 人々が「因数」について考える時， とくに，項について考えている時には， それぞれの「項」の中でかけ あわされているものを考えています。 たとえば，もしこの最初の 項の因数は何かというと， 最初の「項」とはこのここにあるもの， 「2 かける3」を指しています。 それには 2 個の因数があります。 2 と 3 があり，それらが 互いにかけあわされています。 するとここでは最初の項に 2 個の因数があります。 2 番目の項はここにあります。 こちらは最初の項でした。 ここにある 2 番目の項には 1 個の因数しかありません。 それは 4 です。 これには何かがかかって いるわけではありません。 ここにある 3 番目の項にも， 2 個の因数があります。 それは 7 と y との積です。 ですからここには 2 個の 因数があります。 7 と y です。 そしてここには定数の 因数，7 があり， それが変数にかけられていますが， これには特別な 名前がついています。 それはこの項の「係数」と言います。 「係数」です。 係数とは項の残りにかかっている 変数ではないものです。 それがこれを考える一つの方法です。 ここには 7y があって， もしこれが 7xy や 7xyz， 7xyz の 2 乗でも， 変数でない 7 が， 残りにかかっています。 その定数を「係数」と呼びます。 ではもう少し例を考えましょう。 実は今ここでぜひビデオをポーズして 自分で項が何か考えてみて 欲しいと思います。 それぞれの式には いくつの項があるのか， それぞれの項にはいくつの 因数があるのか， そして係数は何か? ではこの最初のものを見てみましょう。 これは 3 つのものが たされていることはわかるでしょう これは最初の項， 2 番目の項 3 番目の項です。 これが最初の項です。 2 番目の項 3 番目の項です。 そしてそれぞれが 2 個の 因数を持っています。 最初のものの因数は 3 と x です。 この 2 番目のものは x と y が因数です。 そして 3 番目のものは y と z が因数です。 さて，ここでの係数は 何でしょうか? 係数とは変数にかかっている 変数ではないものでした。 するとこの最初の項の 係数は 3 です。 では，ここにある項の係数は 何かと思うかもしれません。 これはあなたが どう考えるかによります。 1 つの考えは，xy を 1 かける xy と考えることです。 ある人たちは，ここには xy に 係数 1 がかかっていると， 暗黙的にあると言います。 書かれてはいないのですが，どれにでも 1 はかかっているという考えです。 そしてそれは，ちょっと主観的な 解釈が入る余地があります。 さて，これはとても興味深いです。 もしこれを大きな式として見ると， この全体を見てみると， 明らかに 3 個の項から できています。 最初の項は xyz です。 2 番目の項は (x+1) と y とがかかったものです。 そして 3 番目の項は 4x です。 これを大きなレベルで見ると， 最初の項は， そうですね，いくつの因数が ありますか? 3 個の因数， x, y, z が あると言うでしょう。 2 番目の項にはいくつの 因数がありますか? 2 個の因数があると言うでしょう。 1 個の因数は x たす y， もう一つの因数は y です。 すみません，最初の因数は x たす 1 でした。 2 番目のものは y で それに，この式がかけられています。 この小さな式そのものが， 因数の一つです。 そしてもう一つは y です。 この 3 番目のものもまた 2 個の因数，4 と x があります。 もし誰かが，この項の係数は 何かと言ったらどうですか? 係数は 4 だと言うでしょう。 さて，ここにあるものを見てみましょう。 実は，それを見る前に， ここで興味あることは， ここにはより小さな式があり， それ自身が因数の 1 つのようにふるまう式があります。 すると，ここを拡大して， また同じ質問ができます。 この小さな式には， いくつの項がありますか? 2 個〈の項）です。 それは x と 1 です。 ここには 2 個のものがたされたり ひかれたりしています。 そしてそれぞれはちょうど 1 個の因数を持ちます。 すると，これらが与えられた時に， これらの式を何度も 入れ子にして， 項や因数，または項の 因数が考えられます。 その時には考えているどの部分が 入れ子(ネストとも言いますが) そうなっているかを 1 つずつ 考える必要があります。 この式全体では 1, 2, 3 個の項があります。 しかしこの小さな式を見ると， それ自身が項の因数で， ここには 2 個の項だけがあります。 では，これを見てみましょう。 項はいくつありますか? もう一度，確かに 3 個あります。 いや，もう 1 個たしましょうか。 3 個の項のものばかりで飽きました。 ここには 1 をたします。 では，4 個の項があります。 これが初項で，第二項， 第三項，第四項です。 それぞれの項にはいくつの 因数がありますか? 。これは興味深いです。 因数とはかけあわされている ものでした。 しかしここには y で 割られたものがあります。 思い出しましょう。 y で割るということは，その 逆数をかけることと同じです。 するとこれは通常，3 個の 因数があると考えられます。 それは 3, x, y 分の 1 です。 もし 3 かける x かける y 分の 1 を計算すると， ここにあるものと同じになります。 すると，これは 3 個の 因数があります。 もし誰かが，この係数は 何かと尋ねたら? 3 が係数だと言うでしょう。 ここにはいくつの因数がありますか? これはちょっとややこしいです。 なぜなら，5 かける x の 2 乗かける y というのは， 5 かける x かける x かける y と等しいでしょう? それは確かに正しく， 4 個の因数と言いたくなりますが しかし，慣例では，ほとんどの 人たちが使う方法では， x を底とした指数を 1 個の因数とします。 つまりこれが 1 個の 因数になります。 すると慣例では，これを 3 個の因数があると言います。 それは 5，x の 2 乗と y です。 x の 2 乗は単に 1 個の 因数に考えられます。 もう一度，係数は 5 です。 それを考えるとここには いくつの因数がありますか? そうですね。ここには 3 個の因数があります。 x と，y の 2 乗と， z の 5 乗です。 最後の項は定数項です。 ここにはいくつの因数が ありますか? そうですね。1 だけです。 それには何もかけられていません。