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コース: 物理学ライブラリ > 単位 3

レッスン 1: ニュートンの運動の法則

ニュートンの運動の第 2 法則とは何ですか?

力が加速度を生じるという事実について学びましょう。

ニュートンの運動の第 2 法則とは何ですか?

物理学の入門の世界では，ニュートンの運動の第 2 法則はあなたが習う法則の中で一番重要な法則の 1 つでしょう。この法則はほぼ全ての物理学の教科書のほとんどそれぞれの章で使われています。ですからこの法則をできるだけ早くマスターすることは重要です。

私たちは，物体はその物体に正味の力がかかっている時にだけ加速させることができることを知っています。ニュートンの運動の第 2 法則は，ある物体にある正味の力が与えられた時，どれだけその物体が加速するかを正確に教えてくれます。

a = \frac{Σ F}{m}

確認ですが，

a

はある物体の加速度，

Σ F

はその物体にかかる正味の力，そして

m

はその物体の質量です。

はい，これは

F = m a

と基本的に同じ式ですが，正味の力

Σ F

をより正確に書いている部分だけが違います。そして私たちは両辺を質量

m

で割って加速度

a

を等式の一方に置くことで求めています。

a = \frac{Σ F}{m}

ニュートンの運動の第 2 法則をこの形で書くことの利点は，人々が

m a

—質量かける加速度—がある物体に働く特定の力であると考えにくくなることです。この式

m a

は力ではありません。

m a

とは正味の力が等しくなるもののことです。

上記のニュートンの運動の第 2 法則の形を見ると，私たちは加速度が正味の力，

Σ F

，に比例し，質量

m

に反比例していることがわかります。他の言い方をすれば，正味の力が 2 倍になれば，その物体の加速度も 2 倍大きくなります。同様に，もしその物体の質量が 2 倍になれば，その加速度は半分の大きさになります。

正味の力とはどういう意味ですか?

ある力とは押したり引いたりするもので，正味の力

Σ F

は，ある物体に作用する全ての力，またはそれらの力の和のことです。ベクトルのたし算は，普通の数をたすこととはちょっと違っています。ベクトルをたす時，私たちはそれらの方向も考えに入れなくてはいけません。正味の力はある物体に作用する力全てのベクトル和です。

複数の力のベクトルの和は，ベクトルを尾から先にたどる方法を使って図形的に求めることができます。これはそれぞれの力のベクトルの尾を，たそうとしている一つ前の力のベクトルの先に置いていくという意味です。そして最後のベクトルを置き終えたら，以下の図にあるように，力の総ベクトルは最初のベクトルの尾から最後のベクトルの先を指すものになります。

たとえば，大きさ 30 N と 20 N の 2 つの力がそれぞれ左方向と右方向に上記のように羊に作用しているとします。もし右方向を正の方向と仮定すれば，羊にかかる正味の力は次のようになります。

Σ F = 30 N - 20 N

Σ F = 10 N 右方向へ

もしもっと多くの水平方向の力があれば，右方向の力の大きさをすべてたし，左方向の力の大きさをすべてひくことで，正味の力を求めることができるでしょう。

力はベクトル量ですから，ニュートンの運動の第 2 法則を

\vec{a} = \frac{Σ \vec{F}}{m}

と書くことができます。この等式は加速度ベクトルが正味の力の方向と同じ方向を向いていることを示しています。言いかえれば，正味の力

Σ F

が右方向を向いていれば，加速度

a

は右方向を向く必要があります。

ニュートンの運動の第 2 法則はどのように使うのですか?

もしあなたが解こうとしている問題が多くの方向を向いた多くの力がある場合，それぞれの方向を独立して解析することで問題は多くの場合に簡単になります。

言いかえれば，水平方向については次のように書くことができます。

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m}

これは水平方向の加速度

a_{x}

は水平方向の正味の力

Σ F_{x}

割る質量に等しいことを示します。

同様に，垂直方向については次のように書くことができます。

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m}

これは垂直方向の加速度

a_{y}

は垂直方向の正味の力

Σ F_{y}

割る質量に等しいことを示します。

これらの方程式を使う時，ニュートンの運動の第 2 法則の水平方向の式には水平方向の力だけを代入し，垂直方向の式には垂直方向の力だけを代入することに注意する必要があります。こうするのは，水平方向の力は水平方向の加速度だけに影響し，垂直方向の力は垂直方向の加速度だけに影響するからです。たとえば，大きさ

F_{1}

，

F_{2}

，

F_{3}

，

F_{4}

の力がそれぞれ図に示される方向で質量

m

の雄鶏に作用しているとします。

力

F_{1}

と

F_{3}

は水平方向の加速度に影響します。なぜならそれらは水平方向にそった力だからです。ここで右方向を正の方向と仮定し，ニュートンの運動の第 2 法則を水平方向について使うと次の式が得られます。

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3}}{m}

同様に，力

F_{2}

と

F_{4}

は垂直方向の加速度に影響します。なぜならそれらは垂直方向にそった力だからです。ここで上方向を正の方向と仮定し，ニュートンの運動の第 2 法則を垂直方向について使うと次の式が得られます。

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4}}{m}

注意: 良くある間違いは垂直方向の力を水平方向の式に代入したり，または水平方向の力を垂直方向の式に代入することです。

力が角度を持った方向を向いていたらどうするのですか?

もし力が水平方向や垂直方向に沿っておらず，斜めの方向を向いていた時，その場合でも私たちはそれぞれ垂直と水平の方向に独立して力を解析することができます。しかし，斜めの力は垂直方向と水平方向の両方の加速度に影響するでしょう。

たとえば，雄鶏にかかる力

F_{3}

が以下の図に示すように角度

θ

を持っていたとしましょう。

力

F_{3}

は水平方向と垂直方向の加速度の両方に影響します。しかし，

F_{3}

の水平方向成分だけが水平方向の加速度に影響し，

F_{3}

の垂直方向成分だけが垂直方向の加速度に影響します。ですから，以下に示すように力

F_{3}

を垂直方向の成分と水平方向の成分に分解します。

これで力

F_{3}

は水平方向の力

F_{3 x}

と垂直方向の力

F_{3 y}

に分解されました。

三角法を使うと，この水平方向成分の大きさは

F_{3 x} = F_{3} cos θ

であることがわかります。同様に垂直方向成分の大きさは

F_{3 y} = F_{3} sin θ

であることがわかります。

sin θ = \frac{反対辺}{斜辺}

ですから，垂直方向成分の大きさ

F_{3 y}

と力のベクトル

F_{3}

の大きさの関係が次のようになります。

sin θ = \frac{F_{3 y}}{F_{3}}

そして

F_{3 y}

について解けば次のようになります。

F_{3 y} = F_{3} sin θ

同様に，

cos θ = \frac{隣接辺}{斜辺}

ですから，水平方向成分の大きさ

F_{3 x}

と力のベクトル

F_{3}

の大きさの関係は次のようになります。

cos θ = \frac{F_{3 x}}{F_{3}}

そして

F_{3 x}

について解けば次のようになります。

F_{3 x} = F_{3} cos θ

これでこれまでのようにニュートンの運動の第 2 法則の水平方向の式に水平方向成分の力を代入することができます。

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3 x}}{m} = \frac{F_{1} - F_{3} cos θ}{m}

同様にニュートンの運動の第 2 法則の垂直方向の式に垂直方向成分の力を代入することができます。

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4} + F_{3 y}}{m} = \frac{F_{2} - F_{4} + F_{3} sin θ}{m}

ニュートンの運動の第 2 法則についての解説付きの例題を見せてください

例題 1: 亀のニュートン

質量 1.2 kg の亀のニュートンには以下の図に示されているような 4 つの力が作用しています。

亀のニュートンの水平方向の加速度は何ですか?
亀のニュートンの垂直方向の加速度は何ですか?

水平方向の加速度を求めるためには，水平方向についてニュートンの運動の第 2 法則を使うことになります。

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (水平方向についてのニュートンの運動の第 2 法則から始めます。)

a_{x} = \frac{(30 N) cos 30^{\circ} - 22 N}{1.2 kg} (水平方向の力を正しく負の符号をつけて代入する。)

a_{x} = \frac{26 N - 22 N}{1.2 kg} (度が与えられていますので，計算機が度 (degree) のモードであることを確認してください。)

a_{x} = 3.3 \frac{m}{s^{2}} (計算してお祝いしましょう!)

垂直方向の加速度を求めるためには，垂直方向についてニュートンの運動の第 2 法則を使うことになります。

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (垂直方向についてのニュートンの運動の第 2 法則から始めます。)

a_{y} = \frac{16 N - 12 N - (30 N) sin 30^{\circ}}{1.2 kg} (垂直方向の力に正しく負の符号をつけて代入する。)

a_{y} = \frac{16 N - 12 N - 15 N}{1.2 kg} (度が与えられていますので，計算機が度 (degree) のモードであることを確認してください。)

a_{y} = - 9.2 \frac{m}{s^{2}} (計算してお祝いしましょう!)

はい，できます。ここでは加速度の垂直方向成分と水平方向成分がわかりましたので，ピタゴラスの定理を使って総加速度 (total) の大きさがわかります。

a_{t o t a l}^{2} = a_{x}^{2} + a_{y}^{2}

a_{t o t a l}^{2} = (3.3 \frac{m}{s^{2}})^{2} + (- 9.2 \frac{m}{s^{2}})^{2}

a_{t o t a l}^{2} = 96 \frac{m^{2}}{s^{4}}

a_{t o t a l} = 9.8 \frac{m}{s^{2}}

総加速度ベクトルの水平方向との角度を求めるために，

tan θ = \frac{| a_{y} |}{| a_{x} |}

であることを使います。

tan θ = \frac{| - 9.2 \frac{m}{s^{2}} |}{| 3.3 \frac{m}{s^{2}} |} = 2.8

θ = {tan}^{- 1} (2.8)

θ = 70^{\circ}

総加速度ベクトルは右下の方向を指しています。なぜなら水平方向成分

a_{x}

が正で，垂直方向成分

a_{y}

が負だったからです。総加速度，加速度のそれぞれの成分，そして角度の関係は以下の図のようになります。

例題 2: 糸で止められたチーズ

以下の図に示されるように 2 本の糸で止められ，静止しているチーズのピースがあります。このチーズには図にあるような大きさ

F_{1}

と

F_{2}

の力が作用しています。また，大きさ

20 N

の下方向の重力もこのチーズに作用しています。

力 $F_{1}$ ‍ の大きさは何ですか?
力 $F_{2}$ ‍ の大きさは何ですか?

ここではニュートンの運動の第 2 法則の水平方向成分の式，または垂直方向成分の式のどちらかを使って問題を解き始めることができます。この問題では水平方向の力の成分が何もわかっていません。しかし，垂直方向成分の力の大きさの一つはわかっています。それは

20 N

です。私たちは垂直方向成分についてより多くの情報を持っていますから，この方向についてまず解析しましょう。

a_{y} = \frac{Σ F_{y}}{m} (垂直方向についてのニュートンの運動の第 2 法則から始めます。)

a_{y} = \frac{F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N}{m} (垂直方向の力を正しく負の符号をつけて代入する。)

0 = \frac{F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N}{m} (チーズは静止しているので，垂直方向の加速度は 0 です。)

0 = F_{1} sin 60^{\circ} - 20 N (両辺に質量 m をかける)

F_{1} = \frac{20 N}{sin 60^{\circ}} (F_{1} について解く。)

F_{1} = 23 N (計算してお祝いしましょう!)

力

F_{2}

を求めるためには，水平方向についてニュートンの運動の第 2 法則を使います。

a_{x} = \frac{Σ F_{x}}{m} (水平方向についてニュートンの運動の第 2 法則を使う。)

a_{x} = \frac{F_{1} cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (水平方向の力を正しく負の符号をつけて代入する。)

a_{x} = \frac{(23 N) cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (垂直方向成分の計算で求めた F_{1} = 23 N を代入する。)

0 = \frac{(23 N) cos 60^{\circ} - F_{2}}{m} (チーズは静止しているので，水平方向の加速度は 0 です。)

0 = (23 N) cos 60^{\circ} - F_{2} (両辺に質量 m をかける。)

F_{2} = (23 N) cos 60^{\circ} (F_{2} について解く。)

F_{2} = 11.5 N (計算してお祝いしましょう!)

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