加速度と時間のグラフとは何ですか?

垂直軸はその物体の加速度を表します。

たとえば，以下に示されるグラフの値を特定の時刻で読めば，その時刻のこの物体の加速度をメートル毎秒毎秒で得ます。

以下のグラフで異なる時刻を選ぶために，グラフ上の点を水平方向にスライドさせてみましょう。そして加速度 (それは Acc と示されます) がどのようになるかを見てみましょう。
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コンセプトチェック: 上のグラフでは時刻 $t=4\text{ s}$‍ での加速度は何ですか?

加速度のグラフの傾きは躍度と呼ばれる値を表しています。躍度は加速度の変化率です。

加速度のグラフでは，その傾きは以下の図で見ることができるように，$\text{傾き}={\displaystyle \frac{\text{垂直方向の変化}}{\text{水平方向の変化}}}={\displaystyle \frac{a_2-a_1}{t_2-t_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t}}$‍ から求めることができます。

この傾き，加速度の変化率を表しているものが，躍度として定義されます。

躍度 (英語: jerk) というのは聞きなれない言葉だと思いますが，ケイレンの動き (英語: jerky motion) と私たちが呼ぶものによく合う言葉です。もし短期間で加速度がかなりの量上がって下がるような車に乗っていたら，その運動はケイレンしているようなものだと感じるでしょう。そして身体の姿勢を保つためにあちこちの筋肉を使うはめになるでしょう。

この節の終わりに，躍度を以下の例題のグラフで可視化してみましょう。点を水平方向に移動させてみて，そのグラフの傾きを異なる時刻で見てみましょう。このグラフの傾きが躍度の大きさです。

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コンセプトチェック: 上で示した加速度のグラフでは，時刻 $t=6\text{ s}$‍ の時に躍度は正，負，ゼロのうちのどれですか?

加速度のグラフの下の面積は速度の変化量を表しています。言いかえれば，ある時刻の間隔での加速度のグラフの下の面積はその時刻の間隔の間の速度の変化に等しいです。

これがどうしてそうなのかを見る一番簡単な方法は多分以下の例のグラフを見ることでしょう。そこでは 9 秒の間に 4${\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ の一定の加速度があったことを示しています。

もし加速度の定義 $a={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}}$‍ の両辺に時刻の変化$\mathrm{\Delta }t$‍ をかければ，$\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t$‍ が得られます。

加速度 4${\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ と時間の間隔 9 s をこれに代入すると，速度の変化が求まります:

加速度に時刻の間隔をかけることは，その曲線下の面積を求めることと等価です。以下の図で見ることができるように，この曲線の下の面積は長方形です。

この面積は高さかける幅で求めることができます。この長方形の高さは4 ${\displaystyle \frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}}$‍ で。そして幅は 9 s です。ですから，この面積を求めることはまた速度の変化を与えるのです。

ある時刻の間隔における任意の加速度のグラフの下の面積は，その時刻の間隔での速度の変化を与えます。

ある自信に満ちたレースカーのドライバーが 20 m/s の一定速度で走っています。彼女がゴールラインに近付いた時，彼女は加速を始めました。下のグラフはこのレースカーの速さを上げ始めた時からの加速度を与えています。このレースカーは時刻 $t=0\text{ s}$‍ で 20 m/s の速度をもっていたと仮定します。

グラフに示されている加速度で 8 秒後にはこのレースカーの速度は何になっているでしょうか?

速度の変化は加速度のグラフの下の面積を求めることで求めることができます。

しかしこれは単にある時刻の間隔での速度の変化です。私たちは最終速度を求める必要があります。それを求めるために，私たちは速度の変化の定義， $\mathrm{\Delta }v=v_f-v_i$‍ を使うことができます:

レースカーの最終速度は 44 m/s でした。

1 そうのセイルボートが直線上を 10 m/s の速度で帆走しています。それから時刻 $t=0\text{ s}$‍ で突風が吹いて，このセイルボートを以下の図に見られるように加速しました。

グラフの下の面積が速度の変化を与えます。グラフの面積は下の図で見られるように，1 個の長方形，1 個の 3 角形，1 個の 3 角形 に分解できます。

時刻 $t=0\text{ s}$‍ と時刻 $t=3\text{ s}$‍ の間の青い長方形は正の面積と考えられます。なぜならそれは水平軸の上にあるからです。時刻 $t=3\text{ s}$‍ と $t=7\text{ s}$‍ の間の緑の 3 角形もまた正の面積です。それもまた水平軸の上にあるからです。時刻 $t=7\text{ s}$‍ と時刻 $t=9\text{ s}$‍ の間にある赤い 3 角形は，しかし負の面積を持つと考えられます。なぜならそれは水平軸の下にあるからです。

私たちはこれら全ての面積をたします。時刻 $t=0\text{ s}$‍ と時刻 $t=9\text{ s}$‍ の間の全部の面積を求めるために，長方形には式 $hw$‍ を使い，3 角形には 式 ${\displaystyle \frac{1}{2}}bh$‍ を使います。

しかしこれは速度の変化です。最終速度を求めるためには，速度の変化の定義の式を使います。

このセイルボートの最終速度は $v_f=28\text{ m/s}$‍ です。