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物理学ライブラリ

コース: 物理学ライブラリ > 単位 1

レッスン 3: 加速度

速度と時間のグラフとは何ですか?

速度と時間のグラフと加速度，または変位の関係を分析する方法

速度のグラフの縦軸は何を表していますか?

垂直軸は物体の速度を表しています。これは多分明らかなことだと思うでしょう。でも，あらかじめ注意しておいて下さい。速度のグラフは解釈が難しいことで有名です。人々は傾きを求めることで速度を知ることに慣れています -- このことは位置と時間のグラフでみてきました。そのため，速度のグラフでは，垂直軸の値が速度の値を与えているグラフということを忘れがちです。

以下のグラフ上で点を水平方向にスライドさせて異なる時刻を選んでみて下さい。そして速度がどのように変化するかを見て下さい。

コンセプトのチェック: 上記のグラフにおいて，時刻 $t = 4 秒$ ‍ でのこの物体の速度は何ですか?

[答えを見せて下さい。]

速度のグラフの傾きは何を表していますか?

速度のグラフの傾きは物体の加速度を表します。すると，ある時刻での傾きの値はこの物体のその瞬間の加速度を表します。

速度のグラフの傾きは次の式で与えられます:

傾き = \frac{垂直方向の変化}{水平方向の変化} = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{Δ v}{Δ t}

\frac{Δ v}{Δ t}

は加速度の定義ですから，速度のグラフの傾きはこの物体の加速度に等しいはずです。

傾き = 加速度

これは傾きが急な時には，この物体は速度を急速に変化させるという意味です。傾きが浅い時には，この物体は速度を急速には変化させません。これはまた，もし傾きが負の場合，つまり下方に向いている場合，加速度が負になり，もし傾きが正の場合，つまり上方に向いている場合，加速度は正になるという意味です。

以下の速度の例のグラフ上で異なる点を水平方向にスライドさせてみて下さい。そしてある特定の時刻で傾きがどのようになるかを見て下さい。

時刻

t = 0 s

と

t = 2 s

の間では曲線の傾きは正です。なぜなら傾きは上方を向いているからです。これは加速度が正という意味です。

時刻

t = 2 s

と

t = 8 s

の間では曲線の傾きは負です。なぜなら傾きが下を向いているからです。これは加速度が負という意味です。

t = 2 s

では，傾きは 0 です。なぜなら，ここでの接線は水平だからです。これは加速度がこの時刻で 0 という意味です。

コンセプトチェック: 上記のグラフで表されている物体は時刻 $t = 4 s$ ‍ で速さが増していますか，それとも速さは減っていますか?

[答えを見せて下さい。]

速度のグラフの下の面積は何を表しますか?

速度のグラフの下の面積はこの物体の変位を表します。なぜそうなのかを見るために，5 秒間にわたって 6 メートル毎秒の一定速度を保っている物体を示している次の運動のグラフについて考えましょう。

この時刻の間隔の間の変位を求めるために，次の式を使うことができます:

Δ x = v Δ t = (6 m/s) (5 s) = 30 m

これは

30 m

の変位を与えます。

ここでこれが曲線の下の面積を求めることに等しいことを見せたいと思います。以下で示すグラフの作る長方形の面積について考えてみましょう。

この長方形の面積は長方形の高さ，6 m/s にその幅，5 s をかけることで求めることができます。それは次のようになります。

面積 = 高さ \times 幅 = 6 m/s \times 5 s = 30 m

これは以前変位について得た答えと同じです。速度の曲線の下の面積，これは形には関係なく，その時刻の間隔での変位に等しくなります。

[なぜ速度が一定ではない場合でもこれはまだ真なのですか?]

曲線の下の面積 = 変位

[ちょっと待って，面積はいつも正ではないのですか? もし曲線が時間軸よりも下に来たらどうなるのですか?]

速度と時間のグラフについての解説付きの例題にはどのようなものがありますか?

例題 1: ウィンドサーフィンの速さの変化

あるウィンドサーファーが直線上にそって移動しています。そして彼女の動きは以下の速度と時間のグラフで与えられています。

次の文のうちでウィンドサーファーの速さと加速度について真のものを全て選んで下さい。

(A) 速さは増加している。
(B) 加速度は増加している。
(C) 速さは減少している。
(D) 加速度は減少している。

選択肢 A，速さは増加している，と，D の加速度は減少している，の両方が真です。

速度のグラフの傾きは加速度です。この曲線の傾きは減少していて，より平坦になっています。この意味は加速度が減少しているということです。

これは直感に反するかもしれませんが，このグラフ全体ではウィンドサーファーの速さは増加しています。グラフの値，それは速度を表していますが，それは運動全体で増加しているのです。しかし毎秒あたりの増加の量は小さくなっていきます。最初の 4.5 秒では，速さは0 m/s から約 5 m/s まで増加しました。しかし，次の 4.5 秒では，速さは約 5 m/s から約 7 m/s だけしか増加していません。

例 2: ゴーカートの加速度

あるゴーカートの運動が速度と時間のグラフとして以下に表されています。

A. 時刻 $t = 4 s$ ‍ でのゴーカートの加速度は何ですか?
B. 時刻 $t = 0 s$ ‍ と時刻 $t = 7 s$ ‍ の間のゴーカートの変位は何ですか?

A. 時刻 $t = 4 s$ ‍ でのゴーカートの加速度を求めましょう

速度と時間のグラフの時刻

t = 4 s

での傾きを求めることで，時刻

t = 4 s

での加速度を求めることができます。

傾き = \frac{垂直方向の変化}{水平方向の変化}

この斜めの直線の傾きを求めるために使う 2 点として，ここでは，

3 s, 6 m/s

を始点に，

7 s, 0 m/s

を終点に選びます。これをそれぞれ点 1，点 2としましょう。これらの点を傾きの式に代入すると次のようになります。

傾き = \frac{v_{2} - v_{1}}{t_{2} - t_{1}} = \frac{0 m/s - 6 m/s}{7 s - 3 s} = \frac{- 6 m/s}{4 s} = - 1.5 \frac{m}{s^{2}}

加速度 = - 1.5 \frac{m}{s^{2}}

B. 時刻 $t = 0 s$ ‍ と時刻 $t = 7 s$ ‍ の間のゴーカートの変位を求めましょう。

速度と時間のグラフの下の面積を求めることで，ゴーカートの変位を求めることができます。このグラフは 1 個の長方形 (時刻

t = 0 s

と時刻

t = 3 s

の間) と 1 個の 3 角形 (時刻

t = 3 s

と時刻

t = 7 s

の間) として見ることができます。これらの形の面積をそれぞれ求めて，それらを加えることで，総変位を求めることができます。

この長方形の面積は次のように求めることができます。

面積 = h \times w = 6 m/s \times 3 s = 18 m

この 3 角形の面積は次のように求めることができます。

面積 = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (4 s) (6 m/s) = 12 m

これらの 2 つの面積をいっしょにたすことで，総変位になります。

総面積 = 18 m + 12 m = 30 m

総変位 = 30 m

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