加速度と時間のグラフ

ここで，私は加速度と時間の グラフについて話をしたいと思います。 運動のグラフについて いろいろ見ていく中で， 多分これが一番難しいグラフです。 1 つの理由は多くの人に とって加速度は普通 抽象的な考えであることです。 そしてグラフです。 人々はしばしばグラフそのものを あまり好きではありません。 もう 1 つの理由は，もしある 物体の動きを知りたい時， たとえば，この犬を考えましょう。 これは私の犬のデイジーです。 たとえば，デイジーが加速して いたとしましょう。 もしこのデイジーの速度を 知りたいとしても， このグラフからは直接には わかりません。 このグラフに加えてある他の情報が 速度はわからないのです。 ある時刻におけるデイジーの速度を このグラフから求めるためには， どこかの時刻におけるデイジーの 速度についての情報を 知らないといけません。 では，このグラフはデイジーの運動 の何を語ってくれるのでしょうか? そうですね。このグラフがデイジーの 加速度を表しているとしましょう。 するとデイジーは加速して いるかもしれません。 多分，私たちはキャッチボールを して遊んでいるのでしょう。 彼女にボールをあげましょう。 ボールを投げて遊んでいます。 彼女が実際にボールを 取りに行って 戻ってきてくれるといいのですが。 このグラフは彼女の 加速度を表しています。 さてこのグラフです。私たちは このグラフを読みます。 それはデイジーが 2 メートル 毎秒の 2 乗の加速度を 最初の 4 秒間 持っていたとあります。 それから彼女の加速度は 6 秒の時に 0 に落ちました。 それから時刻 9 まで， 彼女の加速度は マイナス 3 になるまで負の値でした。 しかしこのグラフからは，彼女の 速さが大きくなっているのか 小さくなっているのかはわかりません。 何ならわかるのでしょうか? そうですね。ある事に ついてはわかります。 なぜなら加速度は速度に 関係しているからです。 加速度がどのように 速度に関係しているかは， 加速度が速度の 時間変化であるという 定義を思い出すことでわかります。 すると，これがどのように速度との 関係をつないでいるかです。 もしこれをデルタ v について解けば， このデルタ v は， それはある時間間隔での 速度の変化ですが， ある時間間隔の間の 加速度かける どれだけの時間かかったかという 時間間隔そのものだとわかります。 これは速度のグラフとの 関係との鍵となる部分です。 まず，この最初の 4 秒に ついて考えてみましょう。 時刻 0 秒と 時刻 4 秒 の間を考えてみます。 デイジーは 2 メートル毎秒の 2 乗 の加速度を持っていました。 するとこの意味は，2 は加速度の メートル毎秒の 2 乗です。 これにかけることの加速度， おっとすみません， かけることの時間ですね。 4 秒間です。 すると 4 秒間分の 加速度があります。 すると正の 8 になります。 この単位は何ですか? この秒はこの秒とキャンセルされます。 正の 8 メートル毎秒を得ます。 するとこの最初の 4 秒の 速度の変化は正の 8 でした。 これは速度ではありません。 これは速度の変化です。 ではこの斜めの部分はどうしたら 速度の変化がわかるでしょうか? これは問題です。 これを見て下さい。 もし私がこれを定義しようとしたら， たとえば時刻 6 秒の時の 速度を求めたいとしましょう。 この時点での加速度は 2 です。 しかし，この時点での 加速度は 1 です。 この点での加速度は 0 です。 ここでは加速度が 変化をし続けています。 いったいどうしたらこれで速度 の変化がわかるでしょうか? この区間では，どの加速度を 代入したらいいのでしょうか? しかし私たちはラッキーです。 この式は実はあるとても 重要なことを言っています。 このグラフの幾何学的な一面が， 私たちの悩みを解決してくれます。 これがどうして私たちの悩みを 解決してくれるかですが， これが何かを見て下さい。 これは加速度かける デルタ t だと言っています。 しかしこれを見て下さい。 ここで代入した 加速度は 2 でした。 最初の 4 秒間では 加速度が 2 でした。 この時間，デルタ t は 4 でした。 この 2 を 4 にかけて， 得た数はプラスの 8 でした。 しかしこれは高さｘ幅です。 もし高さｘ幅をとれば， それは単純に長方形の 面積を表しています。 すると，実は私たちが求めたのは この長方形の面積だったのです。 この面積がデルタ v を与えます。 なぜなら長方形の面積は， 高さｘだからです。 私たちは高さはここでの加速度を 表していることを知っています。 そしてここの幅は デルタ t を表しています。 これは加速度の定義から 出てくるものにすぎません。 すると a かけるデルタ t が 速度の変化にならないと いけないとわかります。 するとこのグラフでは， 面積と速度の変化は まったく同じものを表しています。 面積が速度の変化です。 これはとても役に立ちます。 なぜなら，ここに来た時でも， この面積はやっぱり速度の 変化になるからです。 これは役に立ちます。なぜなら， 私は，3 角形の面積なら 簡単に求めることができるからです。 ある 3 角形の面積は，単に 底辺ｘ高さの 1/2 です。 変化する加速度をこの式で どのように使えばいいのかは 私には簡単にはわかりません。 しかし私はこの面積を 求める方法はわかります。 たとえば，ここの面積です。 1/2 があり， 底辺は 2 秒で， 高さは正の 2 メートル毎秒 の 2 乗になります。 これはどうなるかというと，… 2 分の 1 が 1 つの 2 でキャンセルされます。 そしてこれは 2 メートル毎秒に 等しくなります。 それはここの面積で， それは速度の変化を 表しています デイジーの速度の変化は， この時間間隔の間で 2 メートル毎秒です。 もしかしたらあなたはこれに 疑問を持つでしょう。 「ちょっと待って， こっちにあるものはわかります。 高さｘ幅は，単純に a かけるデルタ t だからです。 でも，3 角形は，半分に するという因数があります。 そしてここにはその 半分がありません。 それでもこれが正しいと， どうして言えるのですか?」 実は私たちはまだこれが 正しいと言うことができます。 というのも，私たちがいつも する同じ方法があります。 ここで，ここに長方形が あると想像しましょう。 この面積をたくさんの長方形 を使って概算できます。… それからこの長方形です。 このグラフの上の長方形は ちょっとひどいですね。 これではこの 3 角形の面積に なっているようには見えません。 この全部にこの余計な部分 があります。そうですね? これらはまったく 欲しくないものです。 OK，私もそう思います。 これはあまり上手くいっていません。 ではもっと小さくしてみましょう。 より小さな幅です。 すると，長方形を このようにしてみましょう。 これもこうしましょう。 これはさっきよりも良くなったと あなたもわかるでしょう。 これはさきほどよりも確実に 良くなっています。 これはさきほどのものよりは 悪くないです。 しかしまだ厳密ではありません。 私もこれは厳密ではない ことには賛成します。 そこでもっと小さな長方形を作ります。 これはさらに小さな 幅の長方形です。 これらは皆同じ幅をもっています。 しかし，さっきよりも もっと小さな幅です。 すると本当に近いものになります。 この面積はこの 3 角形の面積に 本当に近いものになります。 ここでのポイントはこれらを 無限小の幅のものにすると， それらは厳密に 3 角形の 面積を表すようになります。 そしてそれぞれの(長方形の) 面積はこの式でわかります。 それぞれのデルタ v は， この面積かける…， おっとすみません。 この長方形の高さの加速度 かける無限小の幅です。 それで全体の デルタ v になります。 それはこの全体の面積です。 手短に言えば， 加速度と時間のグラフの面積は， 速度の変化を表します。 これは覚えておくポイントです。 これは加速度と時間の グラフで一番重要な面で， このグラフをあなたが分析する 時に一番使える点です。 さて，そもそもなぜ私たちは速度の 変化について考えるのでしょうか? なぜなら，これで速度を求める ことができるからです。 このグラフではある時刻での 速度さえわかっていれば， どの他の時刻の速度でも 求めることができます。 たとえば，私があなたにある時刻の デイジーの速度を教えたとしましょう。 どうしてか，私はストップウォッチを 使っているとしましょう。 ある時，私はストップウォッチを スタートします。 t が 0 に等しい時， デイジーの速度は，… なんでもいいのですが，正の 1 メートル毎秒だったとしましょう。 するとデイジーは t が 0 の時刻で， その速度で移動していたとします。 それが t が 0 に等しい 時の彼女の速度でした。 これで，私はいつでも知りたい時の 彼女の速度を求めることができます。 たとえば，私は時刻が 4 秒の時の デイジーの速度を知りたいとしましょう。 これを求めてみます。 時刻 4 秒の時の 速度を得るためには， 私にはここにある時間間隔， この 4 秒間でのデルタ v が わかっています。 デルタ v が何だったかは 知っています。 このデルタ v は正の 8 でした。 私たちはこの面積を， 高さｘ幅で求めました。 すると正の 8 がデルタ v に 等しいものです。 デルタ v とはそもそも何でしたか? それは 4 秒の時の v から 0 秒の時の速度をひいたものです。 これが正の 8 になります。 私は 0 秒の時の v を知っています。 それは 1 でした。 すると，4 秒の時の v ひく 1 メートル毎秒が， 正の 8 メートル毎秒に 等しいとわかります。 すると，4 の時の速度は 正の 9 メートル毎秒と求まりました。 あなたは多分，「ふぅ，これは難しかった。 これを毎回するのは遠慮 したいな。」と思ったでしょう。 そうですね。私もこれを 毎回はしたくないです。 これをもっと素早くする 方法があります。 私たちはこれをもっと 単純にできます。 最初の速度は何でしたか? それは 1 でした。 速度の変化は何でしたか? それは正の 8 でした。 では最終速度は何ですか? そうですね。1 たす 8 で 最終速度が求まります。 それは正の 9 です。 この面積は速度の速度の 変化を表していて， 私たちはその速度の変化をとって， 初期速度にたします。 そうすると最終速度がわかります。 これではよくわからないと いうのであれば， たとえば， 6 秒の時の速度を 求めようとしましょう。 そうですね。 t が 4 秒に等しい時， 正の 9 の速度から始めます。 ここで正の 9 の 速度から始めます。 ここでの変化は正の 2 です。 すると，正の 11 メートル 毎秒になります。 しかしあなたは納得できない かもしれません。 あなたは「ちょっと待って下さい。 もしデルタ v が必要ならば， たしかにそれは正の 2 ですが， デルタ v はこの 0 から 6 秒までの 全体のことではないのですか? 6 秒の時の v ひく 0 の時の v が 2 メートル毎秒だと言うべき では?」と言うかもしれません。 それはできません。 これができない理由は， この左辺を見ると， ここでの時間間隔は 0 から 6 です。 しかし右辺では， 私は 4 から 6 までの面積 だけしか含んでいません。 これがその面積です。 ここには黄色の 3 角形があります。 もし 6 と 0 を左辺に 置こうと思ったら， それもできます。 しかし，それは全体の 面積になります。 これは使いません。 私は全体の面積を 使わなくてはいけません。 言いかえれば，0 から 6 までの 全体の面積です。 なぜならそれがこの左辺で定義 されている部分だからです。 これらの両辺は互いに 一致しなくてはいけません。 すると 0 から 6 までの， 全体の面積は… ここのこの面積は 8 です。 そうですね? この長方形は 8 の面積です。 この面積は 2 です。 すると全体の面積は 10 になるでしょう。 そうしたければ，やってみましょう。 6 秒の時の v ひく 0 秒の時の v は，… そうですね。 0 の時の v は 1 です。 これは私がそう決めたからです。 これは 10 メートル 毎秒に等しいです。 すると，6 秒の時の v はちょうど 前にやったようにして， 11 メートル毎秒になるでしょう。 するとこのように数学的に 解くことができます。 しかし特に両辺の時間間隔が 一致することを確認して下さい。 では，この最後の 部分を見ていきましょう。 するとこの面積を 求めることができます。 この面積ですが，面積はいつも 水平軸より上の曲線の 面積を表します。 するとこの場合には， 水平軸よりも下にあります。 これは負の面積で あることを意味します。 その理由ですが，… これもまた 3 角形ですね。 すると 1/2 ｘ底辺ｘ高さです。 1/2，底辺は 1, 2, 3 秒です。 高さはマイナス 3 です。 これは負になりました。 マイナス 3 メートル 毎秒の 2 乗です。 すると全部の面積は マイナス 4.5 メートル毎秒です。 よし，これでデイジーは速度を マイナスの 4.5 変化 させることになります。 もし 9 秒の時の速度を 求めたければ， いくつかの方法があります。 よし，ちょっと考えてみましょう。 デイジーが 6 秒の時に， 11 の速度で運動を始めたとしましょう。 彼女のこの時間間隔での速度 の変化はマイナス 4.5 です。 もしこれを単純にたせば， つまり彼女の最初の速度に 変化の量をたします。 すると正の 6.5 になるでしょう。 もし私が 11 にマイナス 4.5 メートル 毎秒をたせばそうなります。 もしこれが数学の魔術の ように聞こえるのならば， こう言うこともできます。よし， デルタ v が 等しいのは， 何でしょうか。 マイナス 4.5 メートル毎秒です。 デルタ v ですが，ここは 注意しないといけません。 このマイナス 4.5 はこの 3 角形の面積を表します。 すると，これは 6 から 9 の 間のデルタ v になります。 すると 9 の時の v ひく 6 の時の v は マイナス 4.5 メートル毎秒で なくてはいけません。 9 の時の v ひく 6 の時の v ですが， 6 の時の v は 11 です。 すると，ひく 11 メートル毎秒が， マイナス 4.5 に等しいです。 おっと，もう書く場所がありません。 9 の時の v はー4.5 ＋11 です。 これは上のここでやったことと同じです。 これは 6.5 メートル毎秒です。 そしてこれは前に やったことと一致します。 すると，面積を求めることで，速度 の変化を求めることができます。 そして，ある 1 つの時刻での 速度を知ることで， どの他の時刻での速度も 知ることができます。 ここではちょっと注意して下さい。 左辺と右辺で，正しい時間間隔を 使っていることを確認して下さい。 それらは一致しなくてはいけません。 このビデオを終わりにする 前にもう 1 つあります。 グラフの傾きというものは しばしば何か有益なものを表します。 このグラフでも同じです。 すると，このグラフの傾きですが， これがどんな意味なのかを 解釈してみましょう。 加速度と時間のグラフの傾きです。 そうですね。傾きはいつも， 垂直方向の変化割る 水平方向の変化です。 そして垂直方向の変化は y2 - y1 で，これ割る x2 ひく x1 です。 しかしここでは y と x では なくて，a と t があります。 するとここでは，a2 ー a1 を t2 ー t1 で割ります。 これはデルタ a で， a の変化割る時刻の変化です。 それは何ですか? これは加速度の変化率です。 これまで私たちが 扱ってきたものの， さらに 1 つ多くの階層が でてきましたね。そうでしょう? 速度は時間に対する 位置の変化でした。 加速度は時間に対する 速度の変化でした。 さてここでは，何かが時間に対する 加速度の変化だと言っています。 それは何でしょうか? それは躍度 (英語では躍度は "jerk" なので j) です。 これはしばしば躍度と呼ばれます。 それがその名前です。 しかしあまり頻繁には使われません。 正直に言うと，多分これまでに あなたが学んだ 運動の変数としては， 一番役立たずなものでしょう。 たぶん，この名前はテストでも 尋ねられることはそうないでしょう。 (訳注: もしそういうテストがあれば， あまり良くないものだと思います。) しかし，時々これを使った応用があり， 躍度という名前がついています。 ではちょっとまとめましょう。 面積です。ここで重要なことは， 加速度と時間のグラフの下の面積が 速度の変化を与える ということです。 ある 1 つの時刻での 速度がわかれば， どの時刻の速度も 求めることができます。 そして加速度と時間のグラフの 傾きは，躍度を与えます。