位置と時間のグラフとは何ですか?

位置と時間の関係のグラフから私たちが何を読み取れるか見てみましょう。.

位置と時間のグラフはどのような役に立ちますか?

多くの人たちがグラフについて歯医者に行く時のような感じを持っているようです: それははっりしない不安な感じと,できるだけ早くこの経験を終わらせてしまおうという強い思いです。しかし位置のグラフは美しいものにもなりえます。位置のグラフはある物体の動きについての多くの情報をほんの少しの場所に目に見えるように表す効率的な方法です。

位置のグラフの縦軸は何を表していますか?

縦軸は物体の位置を表します。たとえば,もし,以下のグラフのある時刻の縦軸の値を読むと,その物体の位置がメートルの単位でわかります。
下のグラフで異なる時刻を指定するために点をドラッグして水平方向に移動させてみて下さい。そして位置がどのように変化するかを見てみましょう。
考え方のチェック: 上のグラフで時刻 t=5t=5 秒の時の物体の位置は何ですか?

位置のグラフではその傾きは何を表しますか?

位置のグラフの傾きは物体の速度を表します。するとある時刻の傾きの値は物体のその時刻の瞬間の速度を表します。
なぜグラフの傾きが速度を表すのかを見るために,以下の位置と時間のグラフの傾きを考えてみて下さい:
この位置と時間のグラフの傾きは 傾き=垂直方向の変化水平方向の変化=x2x1t2t1\text{傾き}=\dfrac{\text{垂直方向の変化}}{\text{水平方向の変化}}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} です。
この傾きの式は速度の定義の式と同じです: v=ΔxΔt=x2x1t2t1v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}。ですから位置のグラフの傾きは速度と等しくなる必要があります。
このことは位置と時間のグラフにおいて,傾きが変化している所でも真です。以下の位置と時間のグラフの例では,赤い直線がある特定の時刻における傾きを示しています。以下のグラフで,ある時刻においてグラフの傾きがどのようになるかを見るために,グラフ上の点をドラッグして水平方向に動かしてみて下さい。
時刻 t=0 st=0\text{ s}t=3 st=3 \text{ s} の間でのこの曲線の傾きは正です。なぜなら傾きが上昇する方向を向いているからです。これは速度が正であり,物体が正の方向に移動していることを意味します。
時刻 t=3 st=3 \text{ s}t=9 st=9 \text{ s} の間での曲線の傾きは負です。なぜなら傾きが下降する方向を向いているからです。これは速度が負であり,物体が負の方向に移動していることを意味します。
時刻 t=3 st=3\text{ s} では傾きは 0 になります。なぜならこの時の直線の傾きが水平になるからです。これは,この時には物体の速度が 0 になり,この瞬間には物体が止まっていることを意味します。
考え方のチェック: 上のグラフで時刻 t=9 st=9 \text{ s} の時の物体の速度は何ですか?
もう 1 つ注意しておくことは,ある与えられた時刻での位置と時間のグラフの傾きはその時刻での瞬間の速度を示しているということです。ある時刻の間隔での2 点の間の平均の傾きはこれらの 2 点の時刻の間の平均の速度を与えます。瞬間の速度は平均の速度と等しい必要はありません。しかし,ある時刻の間隔の間で,もし傾きが一定ならば (つまり,グラフがその部分で線分であれば) その線分の上の任意の 2 点の間の瞬間の速度は平均の速度に等しくなります。

位置と時間のグラフの曲率は何を意味しますか?

下のグラフを見て下さい。このグラフはまっすぐな線分からできていないので,曲がっています。もし位置と時間のグラフが曲がっていると,傾きは時間で変化します。それはまた速度が時間で変化することも意味します。速度が変化するということは,加速度があることを意味します。すると,グラフに曲がりがある (曲率がある) ということは物体は加速度を持っています。つまり速度/傾きが変化しています
以下のグラフで点をドラッグして水平方向に移動させ,傾きが変化する様子を見ましょう。時刻 1 s1\text{ s}5 s5\text{ s} の間の最初の山の部分は,負の加速度を表します。なぜなら傾きが正から負に変化するからです。次の時刻 7 s7\text{ s}11 s11\text{ s} の間の谷の部分は加速度は正です。なぜなら傾きは負から正に変化するからです。
考え方のチェック: 上のグラフで時刻 t=6 st=6 \text{ s} の時の物体の加速度は何ですか?
まとめると,もし位置と時間のグラフの曲率 (曲がりぐあい) がひっくり返したボウルのようならば,加速度は負です。 もしグラフの曲率がボウルが物を入れられるように上を向いているのならば,加速度は正です。次はこの覚え方の 1 つです: もしボウルが上下逆さまならば,中の食べ物が落ちてしまうので,それはなくなってしまうことでです。もしボウルが正しく上を向いているのなら,食べ物は入ったままになり,なくなりませんからです。

位置と時間のグラフについての解説のある例題はどのようなものですか?

例題 1: お腹をすかせたセイウチ

お腹をすかせたセイウチが以下のグラフにあるように食べ物を探して水平方向に前後に歩いています。このグラフでは水平方向の位置 xx が時間 tt の関数として示されています。
次の時刻におけるセイウチの瞬間の速度は何ですか: 2 s2\text{ s}, 5 s5\text{ s}, 8 s8\text{ s}?

時刻 2 s2\text{ s} での速度を求めましょう:

このセイウチの時刻 t=2 st=2\text{ s} での速度は,グラフの t=2 st=2\text{ s} における傾きを求めることで求めることができます:
傾き=x2x1t2t1(傾きの式を使う。)\text{傾き}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(傾きの式を使う。)}
ここで,この考えている直線の上の便利な 2 点を好きなように選ぼうと思います。便利な点というのは,たとえば丁度座標の目盛りの上にある点のことで,これらの点ではグラフの値がはっきりわかって便利です。ここでは,点 (0 s,1 m)(0\text{ s}, 1\text{ m})(4 s,3 m)(4 \text{ s}, 3\text{ m}) を選ぶことにします。しかし,0 s0\text{ s}4 s4\text{ s} の間の 2 点ならば,どの点を選んでもかまいません。これらの点を代入する時には,時間的に後の点を点 2として,時間的に早い方の点を点 1 として代入しなくてはいけません。
傾き=3 m1 m4 s0 s(2 点を選び,x の値を分子に,t の値を分母に代入する。)\text{傾き}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(2 点を選び,x の値を分子に,t の値を分母に代入する。)}
傾き=2 m4 s=12 m/s(計算してお祝いしましょう。)\text{傾き}=\dfrac{2\text{ m}}{4\text{ s}}=\dfrac{1}{2} \text{ m/s}\qquad \text{(計算してお祝いしましょう。)}
すると,時刻 2 s2\text{ s} でのこのセイウチの速度は 0.5 m/s0.5 \text{ m/s} でした。

時刻 5 s5\text{ s} での速度を求めましょう:

時刻 5 s5\text{ s} での速度を求める時に注意することは,この時にはグラフが水平だということです。グラフが水平なので傾きは 0 に等しいです。これは,時刻 5 s5\text{ s} でのこのセイウチの速度は 0 m/s0 \text{ m/s} だという意味です。

時刻 8 s8\text{ s} での速度を求めましょう:

傾き=x2x1t2t1(傾きの式を使う。)\text{傾き}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(傾きの式を使う。)}
ここでは最後の線分の始めと終わりの点を選びます。それは,点 (6 s,3 m)(6 \text{ s}, 3\text{ m}) と 点 (9 s,0 m)(9 \text{ s}, 0\text{ m})です。
傾き=0 m3 m9 s6 s(2 点を選び,x の値を分子に,t の値を分母に代入する。)\text{傾き}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(2 点を選び,x の値を分子に,t の値を分母に代入する。)}
傾き=3 m3 s=1 m/s(計算してお祝いしましょう。)\text{傾き}=\dfrac{-3\text{ m}}{3\text{ s}}=-1 \text{ m/s}\qquad \text{(計算してお祝いしましょう。)}
すると,このセイウチの時刻 8 s8\text{ s} での速度は 1 m/s-1 \text{ m/s} でした。

Example 2: 幸せな鳥

ある途方もなく幸せな鳥が以下のグラフで与えられるように上下に直線上を飛びまわる運動をしています。このグラフでは垂直位置 yy が時間 tt の関数として与えられています。この鳥の運動についての次の質問に答えて下さい。
時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} 間のこの鳥の平均の速度は何ですか?
時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} 間のこの鳥の平均の速さは何ですか?

時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間のこの鳥の平均の速度を求める:

時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間の平均の速度を求めるために,時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間の平均の傾きを求めることができます。視覚的には,これはグラフの初期位置と最終位置のを結ぶ直線の傾きを求めることに相当します。
傾き=y2y1t2t1(傾きの式を使う。)\text{傾き}=\dfrac{y_2-y_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(傾きの式を使う。)}
初期位置の点は (0 s,7 m)(0 \text{ s}, 7\text{ m}) であり,最終位置の点は (10 s,6 m)(10 \text{ s}, 6\text{ m}) です。
傾き=6 m7 m10 s0 s(時間区間の最終点と初期点を選び,値を代入する。)\text{傾き}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(時間区間の最終点と初期点を選び,値を代入する。)}
傾き=1 m10 s=0.1 m/s(計算してお祝いしましょう。)\text{傾き}=\dfrac{-1\text{ m}}{10\text{ s}}=-0.1 \text{ m/s}\qquad \text{(計算してお祝いしましょう。)}
すると,時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間のこの鳥の平均の速度は 0.1 m/s-0.1 \text{ m/s} です。

時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間のこの鳥の平均の速さを求める:

平均の速さの定義は移動距離を経過時間で割ったものです。すると,移動距離を求めるためには,それぞれの移動の区間の経路の長さを加える必要があります。時刻 t=0 st=0\text{ s}t=2.5 st=2.5\text{ s} の間で,この鳥は 5 m5\text{ m} 下に動きました。そして時刻 t=2.5 st=2.5\text{ s}t=5 st=5\text{ s} の間では,この鳥はまったく移動していません。そして最後に t=5 st=5\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間で,この鳥は 4 m4\text{ m} 上の方向に飛びました。この経路を全て加えると,移動距離=9 m\text{移動距離}=9\text{ m} という総移動距離が得られます。
これで平均の速さ savgs_{avg} を求めるため,総移動距離を時間で割ることができます:
savg=距離Δt(平均の速さの式を使う。)s_{avg}=\dfrac{\text{距離}}{\Delta t} \quad\text{(平均の速さの式を使う。)}
savg=9 m10 s=0.9 m/s(値を代入し,計算してお祝いしましょう!)s_{avg}=\dfrac{9\text{ m}}{10\text{ s}}=0.9\text{ m/s} \quad\text{(値を代入し,計算してお祝いしましょう!)}
すると この鳥の時刻 t=0 st=0\text{ s}t=10 st=10\text{ s} の間の平均の速さは 0.9 m/s0.9 \text{ m/s} です。
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