瞬間の速さと瞬間の速度

自分が物理学の大学院生だ というふりをしてみましょう。 ちょうど今日の授業が 終わったところです。 あなたは家まで歩いている時に， 今夜はギャラクシーウォーズの 連続放送があることを思い出しました。 そしてあなたは物理学の学生なら 皆がするだろうことをしました: 走る。 あなたは家に早く帰りたかったのです。 あなたは 6 メートル毎秒の 速さで走りはじめました。 多分，しばらく走っていなくて 運動不足だったのでしょう。 疲れて 2 メートル毎秒へとスピードを 落とさなくてはいけませんでした。 家に近くなってきた時， あなたは言いました: 「いけない。キャプテンアンタレスは あきらめたりなんかしない。 そして私もあきらめないぞ。」 そしてあなたは 8 メートル毎秒で走りはじめ， オープニングの音楽がかかっている 時に間にあうように家に着きました。 これらの数の値は瞬間の速さです。 瞬間の速さとはある特定の時刻に おけるある物の速さのことです。 そしてもし，速さに方向を 含めるのなら， あなたは瞬間の速度を得ます。 言いかえると， 右へ 8 メートル毎秒とは， ある特定の時刻における この人の瞬間の速度です。 これは平均の速度とは 違うことに注意して下さい。 もしあなたの家が学校から 1000 メートル離れていたら， そして家まで全部で 200 秒かかったとしたら， あなたの平均の速度は 5 メートル毎秒になるでしょう。 これはあなたが移動している間の 特定の時刻の速度と同じで ある必要はありません。 たとえばあなたが 60 メートルを 15 秒で走ったとしましょう。 この間にあなたは速く走ったり， 速さをゆっくりにしたり， それぞれの時刻で速さを 変えることができます。 速くしたり遅くしたりにかかわらず， この道を移動している時の， あなたの平均の速度は 右へ 4 メートル毎秒で変わりません。 または，もしそう言いたければ， プラスの 4 メートル毎秒と 言ってもいいでしょう。 では，あなたは，この移動の ある時刻における 瞬間の速度について 知りたいとしましょう。 その場合，より短かい 時間の間隔分の より小さな変位を 求めたいと思うでしょう。 それはこの求めたい 時刻での瞬間の速度を 中心の点にするような間隔です。 これは瞬間の速度についてのより 良い値を与えるでしょうが， しかし，これはまだ 完璧とはいえません。 ある瞬間の速度を より正確に求めるには， より小さな時間間隔分のより 小さな変位を選ぶことができます。 しかしこうしていくと ある問題につきあたります。 なぜなら，瞬間の速度のための 完璧な値が欲しいとしたら， あなたは無限に小さな変位を， 無限に小さな時間間隔で 割らなくてはいけません。 しかし，それは基本的に 0 割る 0 のことです。 そして長い間誰もこれに意味を 与えることができませんでした。 実は，ある特定の時刻での 運動を定義するのは 不可能なように見えるので， 古代ギリシャでは， 運動というものはまったく意味が ないのではという疑問がありました。 彼らは運動というものは単なる 幻想であるかどうかと考えました。 結局，アイザックニュートン卿が これらの質問についての答えを 与える新しい数学を作りました。 今日ではこのニュートンらの作った 数学を「微積分法」と呼んでいます。 さて，もしあなたがある物理学者 にこう質問したとしましょう: 「瞬間の速度についての 式は何ですか?」 すると彼または彼女はたぶん， 微積分法を含む式を答えるでしょう。 でも，あなたたちのうち微積分法を まだ学んでいない人のために， 瞬間の速度を求める いくつかの方法のうち， 微積分法を使う必要のないものを お見せしましょう。 最初の方法はとても単純です。 ある意味明らかなものです。 もしあなたが運が良くて， ある物体の速度が 変化しない場合には， 平均の速度の式の 与える数がそのまま どの時刻の瞬間の速度にも なるでしょう。 もし速度が変化している場合， 瞬間の速度を求める ことができる方法の 1 つは， x 対 t のグラフ上での 運動を見ることです。 この場所-対-時間のグラフ上の， どんな点においてもグラフの傾きは その時刻の瞬間の 速度に等しくなります。 なぜなら，この傾きは x が 時間に関して変化する時の 瞬間の率を与えるからです。 瞬間の速度を求める 3 番目の方法は 加速度が一定という もう 1 つの特別な場合です。 もし加速度が一定であれば， どんな時刻 t についての 瞬間の速度 v でも 求めるために運動の式を 使うことができます。