加速度一定の時の平均速度

このビデオのゴールは， いくつかのコンセプト， または伝統的な物理学のクラスで 見るような式を探求することです。 しかし，それよりももっと 重要なことはそれらは 実は常識的な考えであると いうことをわかることです。 では，簡単な例題から 始めましょう。 では，このビデオのために 私はこれは速度の大きさであるとか， これは速度の方向であるなど とはあまり言わないようにします。 単純にある正の数があって， それはたとえば，正の速度で あると仮定しましょう。 それは右に移動している という意味です。 そして，もし負の数がある時， このビデオではでてきませんが， その時には左に移動 していると仮定しましょう。 そうすると，私は単純に数を 1 つ書くことができます。 そしてここでは 1 次元に ついてだけ考えます。 するとその時には 大きさと方向の両方を 指定できるとわかるでしょう。 もし速度が 5 メートル 毎秒だと言えば， それは 5 メートル毎秒で右に 動いているという意味です。 もし負の 5 メートル毎秒だと言えば， それは左に 5 メートル毎秒で 動いているという意味です。 さて，簡単のために， 初速度が 5 メートル毎秒 だったとしましょう。 もう一度注意しておきますが， これで大きさと 方向の両方を指定しています。 ここの慣習から，それは 右に動いているとわかります。 そしてまた，一定の 加速度があるとしましょう。 ここでは 2 メートル毎秒毎秒， または，2 メートル毎秒の 2 乗の 一定の加速度があるとしましょう。 もう一度，これは正の値ですから， 右方向に向かっています。 そして，これはある時間の 間あったとしましょう。 すると時刻の変化は， 4 秒間続いたとします。 ここでは s とだけ書きます。 ここでは秒とか sec とは書きません。 s は他の場所にもでてくるでしょう。 このビデオでは s は 秒の意味とします。 では，ここで私はどれだけの距離を 移動したかについて 考えたいと思います。 いや，そうですね。2 つの ことについて考えましょう。 4 秒後にどれだけ速く 移動しているか。 そして，4 秒でどれだけの 距離を移動しているかです。 ではここでちょっとした 図を描いてみましょう。 するとこれが速度の軸で， こちらが時間軸です。 もうちょっと真っ直ぐな 線が描けますね。 さて，これが時間軸です。 こちらが速度です。 ここにあるのが速度です。 そして，5 メートル毎秒 から始まります。 ここにあるのが 5 メートル毎秒です。 初期速度（Vi）は 5 メートル毎秒に 等しいです。 そして 1 秒が過ぎるごとに， 2 メートル毎秒速くなっていきます。 なぜならそれ (加速度) が 2 メートル毎秒毎秒だからです。 毎秒ごとに，… 1 秒後には， 2 メートル毎秒速くなります。 ですから 7 メートル毎秒 になるでしょう。 これを考えるもう 1 つの 方法ですが， この速度の直線の傾きが， ここでの一定の加速度です。 または，ここには一定の 傾きがあります。 すると，何かこんな 感じになるでしょう。 では 4 秒後には何が 起きるのでしょうか? 1, 2, 3, 4 秒。 これがデルタ t です。 最終速度はここになるでしょう。 それは下に書きます。というのも， この速度 (velocity) の言葉の 上に書けないからです。 では，これが v です。 これが最終速度です。 それは何になるでしょうか? そうですね。私は 5 メートル 毎秒から始めました。 ここでは私は変数と 実際の数の 2 つで やってみようと思います。 まずある初速度から始まります。 この添え字の i は初期 (initial) を意味します。 そして 1 秒が過ぎるたびに， これだけ速くなります。 すると，もしどれだけ 速くなったかを見たければ， 経過した秒数に -- 経過した時間に 加速度をかけます。 そしてもう一度，ここにある 添え字の c は 一定の (constant) 加速度 の c を意味します。 こうすると、どれだけ 速くなったかがわかります。 もしこの時点から始めて， そして経過した時間に傾きを かければ，この高さが得られます。 これで最終速度がわかります。 そしてはっきりさせるために 数を使いましょう。 実はこれらの数は 何でもいいのです。 これはあなたの頭に具体的なもの を入れたくて私が勝手に選びました。 最初に 5 メートル毎秒が あって，たす 4 秒間に… これは黄色で書きたいと思います。 たす，4 秒間かけるこの 2 メートル 毎秒の 2 乗の加速度です。 するとこれは何に 等しくなるでしょうか? この秒はこちらの下の秒 の 1 つとキャンセルされます。 4 かける… ではそう書いてみましょう。 まず，5 メートル毎秒があり， たすことの，… 4 かける 2 は 8 です。 この秒は消えます。 残ったのは単にメートル毎秒です。 8 メートル毎秒です。 これは，13 メートル 毎秒と同じです。 それは最終速度になります。 ここでちょっとポーズして みたいと思います。 ここでビデオをポーズして自分自身 でも考えてみて欲しいです。 これがあなたの直感に あうといいと思います。 私たちは 5 メートル毎秒で始めました。 毎秒ごとに， 2 メートル毎秒速くなります。 すると，1 秒後には 7 メートル毎秒になるでしょう。 2 秒後には 9 メートル 毎秒になるでしょう。 3 秒後には 11 メートル毎秒に， そして 4 秒後には， 13 メートル毎秒になるでしょう。 すると，どれだけの時間が かかったかに加速度をかけます。 これが最初の速度から どれだけ速くなったかです。 もし最初に 5 メートル 毎秒だったのなら， 5 たすどれだけ 速くなったのかをたせば， 13 メートル毎秒になります。 するとここは 13 メートル 毎秒になります。 ではここでちょっと ポーズします。 これが直感的だといいです。 ここでのポイントですが， この式は多くの物理学の本で よく見るものだと思いますが， これはランダムに理由もなく 出てきたものではありません。 これは完全に常識にも合う ものだということを言いたいのです。 さて，ここで私が次に 話をしたいことは， ここで移動した総距離は 何かということです。 前のビデオから， 移動距離というのは 単にここにある曲線の 下の面積でした。 つまりこの曲線の下の面積です。 あなたは，ちょっと待って， ここにあるのはちょっと変な形です。 この面積はどうやったら 計算できるのですか? ここで私たちは簡単な 幾何学を使って， これを 2 個の異なる形の 面積に分解できます。 そうすると，これらの面積を 簡単に計算できます。 これら 2 個の簡単な形です。 これはこの青の部分に 分けることができます。 このここにある長方形です。 長方形の面積は簡単に 求めることができます。 そして，この紫の部分に 分けることができます。 このここにある 3 角形です。 3 角形の面積は簡単に 求めることができます。 そしてそれが私たちが 移動した総距離です。 そしてこれもある意味の 直感を与えてくれます。 なぜなら，この青の面積は 加速度がない場合の移動 距離を表しているからです。 もし 5 メートル毎秒で 4 秒間移動したら， つまり，もし 5 メートル毎秒かける… これが 1 秒， 2 秒， 3 秒， 4 秒です。 すると，これは 0 から 4 秒までの移動距離です。 あなたの時刻の 変化は 4 秒間です。 すると，もし 5 メートル 毎秒で 4 秒間動けば， 20 メートル移動 することになります。 ここにあるものは 20 メートルです。 これがここにある面積です。 5 かける 4 です。 この紫，またはマジェンタの面積は これからさらにどれだけ 移動するかです。 なぜならここでは加速度があります。 どんどん速くなっています。 そして，ここの面積を 計算するのはとても簡単です。 ここの底辺はまだ 5 です。 (訳注: 4 秒の誤り) 5 秒間が過ぎています。 (訳注: 4 秒間の誤り) そしてここの高さは何でしょうか? ここでの高さは最終速度です。 それから初速度をひきます。 または，これは加速度 による速度の変化です。 加速度による速度の変化です。 13 ひく 5 は 8 です。 それはここの 8 です。 それは 8 メートル毎秒です。 するとここにあるこの高さは 8 メートル毎秒です。 ここにある底辺は 4 秒です。 それがかかった時間です。 するとこの 3 角形の 面積は何でしょうか? ある 3 角形の面積は 1/2 かける底辺， それはここでは 4 秒です， これにかける高さ， それは 8 メートル毎秒です。 秒はキャンセルされます。 1/2 かける 4 は 2 です。 それかける 8 は， 16 メートルに等しくなります。 すると，総移動距離は 20 たす 16 で， 36 メートルです。 それが全体です。または，これを 全変位と言うこともできます。 もう一度，それは，これは 右方向で，それは正の方向です。 するとこれが変位になります。 さてここで私がしたいことは， これまでとまったく同じ計算ですが， 変数の形をそのまま 保持したいと思います。 すると他の式ができます。 それは多くの人が学校で 暗記したりするものです。 しかし私はあなたにその式が 完全に直感的にわかる式だと 理解して欲しいのです。 そして，それはこのビデオで 見てきたように， 単純に論理的に考えていく だけででてくるものです。 この面積は何ですか? もういちど，もし変数について 考えるのならば， この長方形の面積は， 初期速度かける 時刻の変化です。 すると，このここにある 青い長方形です。 そしてこれに加えて，何を しなくてはいけないかと言うと， もう一度ここには 時刻の変化があり， 時刻の変化があって， それにこの高さをかけます。 それは最終速度から… それは最終速度から， 初速度をひいたものです。 これらは全部ベクトル量です。 これらは単に正です。つまり 右方向に向かっています。 すると底辺かける高さを 計算すればいいです。 それでこの長方形全体の 面積がわかります。 それの半分をとらなくては いけません。 なぜなら，ある 3 角形の面積は その長方形の半分だけだからです。 するとかける 1/2 です。 するとこれが面積です。 これが紫の面積です。 この色は紫ではないですね。 これは紫の面積です。 ここにあるものです。 これがこの面積です。 こちらがこの面積です。 そしてこれを簡単化しましょう。 デルタ t をくくり出しましょう。 もしデルタ t をくくり出せば， デルタ t かける結構 いろいろな項です。v_i，… これは初速度です。 これを因数分解します。 たすここにあるものです。 たすこのここにあるものです。 そして 1/2 を分配する ことができます。 デルタ t を因数分解します。 それから，1/2 をこれらの それぞれにかけます。 するとこれたす，1/2 かける v_f， かける最終速度です。 これは正しい色ではありませんね。 正しい色で書きましょう。 何をやっているかあなたにわかる ようにしたいと思います。 するとこれが 1/2 です。 たす 1/2 かける最終速度… ひく 1/2 かける初速度です。 これは青で書きたかったです。 すみません。今日はどうも 色を上手く選べないです。 ひく 1/2 かける初速度です。 さて，これはどんなふうに 簡単化されますか? なにかたすほかの 1/2 の何か ひく 1/2 かけるもともとの 何かがあります。 すると，v_i ひく 1/2 かける v_i は何でしょうか? 何かひくその半分は， 正の半分が残ります。 するとこれら 2 つの項は， この項とこの項は， 1/2 v_i に簡単化されます。 初速の 1/2 たす 1/2 かける 最終速度です。 そしてこれら全部に， 時刻の変化がかかっています。 または経過した時間です。 そしてこれが距離になります。 私たちが移動した距離です。 または他の考え方ですが， この 1/2 をくくりだしましょう。 距離が時刻の変化かける，… 1/2 をくくり出すと， v_i たす v_f です。 おっと，これは正しい色では なかったです。 v_i たす v_f です。 これは興味深いです。 移動した距離は， 初速度たす最終速度の 1/2 に等しくなります。 するとこれは実は，… このここにある量というのは， 単純に 2 つの数の算術… (ちょっと算術という言葉 は言いにくいです。） この 2 つの数の算術平均です。 そして私はこれを新しい何か として定義しようと思います。 これを平均の速度と 呼ぶことにします。 しかしこれについては 注意深くしないといけません。 ここにあるものは平均の速度です。 しかしここで私が 平均を出すために， 単純に初速度と最終速度をたして それを加えて 2 で割ることが できる理由があります。 基本的にこれら 2 つの平均をとると， それはこのあたりの どこかになります。 私はこれを平均の速度としますが， それは加速度が一定 だからできるのです。 これはほとんどの入門の 物理のクラスでする仮定です。 しかしいつもそうとは限りません。 もしこのように一定の 加速度がある場合， あなたはこの平均の速度は， 初速度と最終速度の平均である と仮定することができます。 もしこれが曲線，あるいは加速度 自体が変化する場合には， このような計算はできません。 しかしこれが使い出のある理由は， 移動した距離を求めたい と思った時に， 初速度と最終速度だけ わかればいいからです。 2 つの平均をとって，それに かかった時間を かければいいのです。 するとこの場合，最終速度は， 13 メートル毎秒です。 初速度は，5 メートル毎秒でした。 すると 13 たす 5 は 18 に等しいです。 これを 2 で割ります。 すると平均の速度は 9 メートル毎秒になります。 もし 13 と 5 の平均をとると， 9 メートル毎秒で， それに 4 秒間をかけると， 36 メートルになります。 これがあなたを混乱 させないといいです。 私がこれをあなたに 見せたかった理由は， 物理の教室でこのような式を 見ることがあるでしょうが， これを単純に暗記しないで 欲しいです。 まぜならこれらはこのように 全部導き出せるからです。