時間，加速度，初期速度の関数として変位を導く

このビデオで私は， 何かを投げる (投射) と いうことを考えたいです。 多分，ボールとか石とかですが， そういうものを 真っ直ぐに上に空中に投げた時に どうなるか考えることです。 そのために，私は時間に対しての 距離をプロットしたいと思います。 ここでは，私が石を空中に 投げる時に起こる， いくつかのことについて 話したいと思います。 この石の初速度 (v_i) は 19.6 メートル毎秒 (19.6 m/s) としましょう。 私がこの初速度を勝手に 選びました。というのも， そうすると，数学がほんの ちょっと簡単になるからです。 私たちはまた，地球の表面 近くの加速度を知っています。 地表近くの重力を知っています。 それは，物体の質量かける 加速度です。 ちょっとこれを書いておきましょう。 地表付近のある物体への 重力による力は その物体の質量かける 小文字の g です。 小文字の g は地球の表面 付近の重力加速度です。 g は 9.8 メートル毎秒の 2 乗です。(9.8 m/s^2) さて，もし地表の重力 加速度を知りたければ， 力を質量で割ればいいです。 そうでしょう? なぜなら，力は質量かける 加速度です。(F=ma) もし加速度が欲しければ， この両辺を質量で割ります。 すると，力分の質量になります。 すると，これを質量で割りましょう。 両辺を質量で割ります。 もし両辺を質量で割れば， 左辺は加速度になり， 右辺は小文字の g と同じ量になります。 ここで私がこれを 見せている理由ですが， この g を見ると，それは実は， 万有引力の法則からきています。 この g を実は地表 付近の重力場の 強さを測ったものと みることができます。 すると，質量に g をかけた時に， 力を求めることができます。 そして F=ma というニュートンの 力学の第二法則を使うと， g がまたでてきます。 それは実は加速度です。 これはあなたを地球の 中心に向かって加速します。 ここでもう 1 つはっきりして おきたいことがあります。 もしかしたらもうあなたは気が 付いたかもしれませんが， 重力という力について 話をしている時， 一般的に重力は大文字の G， これは小文字の g とは 違いますが，かける 2 つの物体の質量の積 割る 2 つの物体の間 の距離の 2 乗です。 するとあなたは，「ちょっと待った。 明らかに重力は距離に 依存している。 もし，私が何かを空中に投げたら， 距離が変化しますよ。」 と言うでしょう。 そうです。あなたは正しいです! それは厳密には正しいです。 しかし，実際には，あなたが何かを 空中に投げた時には その距離の変化は 物体と地球の中心との距離に 比べてとても小さいでしょう。 その場合に数学は簡単になります。 私たちが地球の表面に近い， 大気圏内を含めた場所にいる場合， これは定数であると 考えることができます。 注意して下さい。 この小文字の g は これらの項を全部あわせたものです。 私たちは質量 1 (m_1) は 地球の質量だと仮定し， そして r は地球の半径だと 仮定しています。 地球の中心から地表 までの距離です。 地球の半径。 すると，あなたがそれは少しは変化 すると考えているのならば正しいです。 重力は少し変化します。 しかし，空中に物を投げる というような場合， これは定数だと仮定できるでしょう。 そしてそれを計算したとすると， それは 9.8 メートル 毎秒の 2 乗です。 私はここで 10 分の 1 を 単位に丸めました。 またこれらはベクトル量だという こともはっきりさせておきたいです。 ものを空中に投げる時の 慣習は，上に移動する 時に正の値で， 下に移動する時には 負の値で表されます。 物が自由落下する時には， 重力はそれを下方に 加速するでしょう。 または，重力の方向は 下を向くと言えるでしょう。 するとここにある小文字の g は， その方向を与えたい時には負です。 (小文字の g は) -9.8 m/s^2 です。 重力による加速度があります。 重力による加速度 (a_g) は -9.8 メートル毎秒の 2 乗です。(-9.8 m/s^2) ここで私は時間に対する距離を プロットしたいと思います。 どのような式をつくるのかに ついて考えてみましょう。 どのように式を導くのかに ついて考えてみましょう。 その式では，入力の 時間を変数として， それから距離を 求めることができます。 それらの値はここにある ものを仮定できます。 実は私は時間に対して 変位をプロットしたいです。 なぜならその方がより 興味深いからです。 私たちは変位が 平均の速度かける時刻の 変化だと知っています。 今ここにあるものは， 時間，距離，平均速度 についての何かです。 しかしそれは初速度，加速度に ついてのものではありません。 ところが平均速度は 初速度 (v_i) たす最終速度 (v_f) 割る 2 と同じです。 これは加速度が一定と 仮定した時だけです。 平均の速度 (V_{avg}） は 加速度一定の仮定の時だけ， このように計算することができます。 もう一度，ここでの物体は 地球の表面からそんなに 離れていないという場合には， その仮定をすることができます。 加速度は一定だと仮定できます。 さて，ここでは最終速度が何かは 与えられていませんから， これについてはもう少し 考える必要があります。 実は最終速度は初速度と 時間で表現できます。 この部分だけを考えましょう。 平均速度です。 この式は，初速度たす何か割る 2 と書き直すことができます。 では最終速度は何でしょうか? 最終速度は，... 同じ黄色で書きますが， 最終速度は，初速度たす， 加速度かける時刻の変化です。 そうでしょう。もしあなたが 10 m/s で動き始めて， 1 m/s^2 で加速すると， 1 秒後には 1 メートル 毎秒速くなります。 すると，ここにあるものが 最終速度です。 これらが全部ベクトル量であることを (矢印で) はっきりさせておきましょう。 時々書くのを忘れるかもしれませんが， その時にはお許しください。 これらがベクトル量であることは もうあなたにはあたりまえになって いるといいです。方向は重要です。 これをどのように簡単に できるかについて見てみましょう。 これら 2 つの項は， ここでは単純に速度の平均を 扱っていたことを思い出して下さい。 これら 2 つの項をあわせると， 2 かける初速度 (2v_i) です。 2 かける初速度と， そしてこれは 2 で割られていて， たすこれらの全部が 2 で割られています。 たす，加速度かける時刻の 変化が 2 で割られています。 ここにあるものは，平均の速度を 書くもう 1 つの方法です。 私がこう書いた理由は，ここでは 最終速度がわからないからです。 しかし，加速度は知っています。 そしてここでは独立変数として 時刻の変化を使います。 まだこれにこの緑の時刻の 変化をかける必要があります。 これらの全部にこの緑の 時刻の変化をかけます。 この全部は変位を表します。 これは変位です。 時刻の変化をこれら 全部とかけます。 実はここの 2 はキャンセルされます。 そして，これは，… こちらで続けましょう。 ここのまだ広い場所が使えます。 これで，変位が等しいのは， 初速度かける 時刻の変化になります。 同じ色にしましょう。 かける時刻の変化です。 多くの物理の授業や伝統的な教科書 ではここに時間 t を書くことがありますが 実はこれは時刻の変化です。 時間でも大変な間違いとは 言えませんが， 時刻の変化の方がより正確です。 たす 1/2 かける，それは 2 で割ることと同じですが， たす 1/2 かける加速度， かける加速度， かける，デルタ t かける デルタ t です。 時刻の変化かける時刻の変化。 この 3 角形はデルタと呼びますが， その意味は「〜の変化」です。 すると時刻の変化かける 時刻の変化は， 単に時刻の変化の 2 乗です。 ある授業では，これを d が v_i かける t たす 1/2 at^2 に等しいとも書くでしょう。 これらはまったく同じことです。 d を変位 (displacement) の変数に， t をデルタ t の代わりに使っています。 これらは同じものです。 このビデオであなたに わかって欲しい 1 つのことは， これがとても素直に 導くことができることです。 時間制限のプレッシャー があるとかで， この式を直接使いたいことが あるかもしれませんが， しかし，大事なことはこの導き方 を知っていることです。 あなたが 30 歳，40 歳， 50 歳になった時でも または，あなたがエンジニアで ロケットを宇宙に送りたいという時， あなたは物理学の本を見る 必要がないということです。 これは単に変位は平均の速度 かける時刻の変化に等しいということです。 そして定数の加速度を 仮定しています。 あなたはこの残りを 自分で導くことができます。 このビデオではここで 終わりにします。 こちらのものは 消しておきましょう。 このビデオはここで 一度区切りをつけましょう。 次のビデオでは，今導いた この式を使います。 これを使って，実際に変位と 時間のグラフをプロットしましょう。 なぜなら，それは興味 あることだと思います。 そして時刻がどんどん進んでいくと， 速度と加速度に 何が起こるかについて考えましょう。