時間が与えられたときの斜方投射物の最大変位

1 つ前のビデオの続きですが， ボールを空中に投げ上げた時， 空中にボールがあった時間が どれだけかを測りました。 そしてそのボールの初速度が何か， また，空中でどこまで高く 上がるかを求めました。 1 つ前のビデオでは， 特定の数を使いました。 このビデオでは， その計算を頭の中で， とても速くできるような 興味ある式を導くことが できるかやってみましょう。 どこかの野原でこのゲームを している時間ででき， 紙も必要ないような式です。 このボールはデルタ t の間 空中にあるとしましょう。 デルタ t は空中にある 時間に等しいです。 すると上昇 (up) にかかる時間は すると上昇の時間はデルタ t の…。 これは同じ色で書きましょう。 それは空中にある時間を 2 で割ったものに等しいです。 すると初速度は何でしょうか? ここで思い出すべきことは， 速度の変化，それは， 最終速度ひく 初速度と同じだということです。 最終速度は，… 思い出して下さい… このボールのパス (経路) の半分に ついてだけ話をしているということです。 これが投げられた時刻には， これは上向きの 最大速度を持っていて， それはだんだんゆっくりに なっていきます。 これは停止する瞬間までだんだん ゆっくりになっていきます。 それから下に向かっていきます。 ここで加速度はずっと 下向きに一定でした。 すると，この時間の半分を 考えた時には， 最終速度は何でしょうか。 そうですね。半分の時間では， それは 0 です。 すると 0 ひく初速度になります。 それは投げられた時の速度です。 これが速度の変化です。 これが速度の変化で，それは， 重力による加速度， -9.8 メートル毎秒の 2 乗， または，技術的に正しく言えば， ある物体が自由落下する 時の重力による加速度， かける上昇する間の時間です。 すると上昇のデルタ t かける， これは同じことなので 繰り返して書くことはしません。 上昇のデルタ t は，空中に あった全部の時間を 2 で割ったものに等しいです。 するとマイナスの初速度が これに等しくなります。 これを 2 で割ると， 4.9 メートル毎秒の 2 乗になります。 まだマイナスが最初にあります。 これかけるデルタ t です。 思い出して下さい。これが空中に あった全部の時間です。 これは上昇だけの 時間ではありません。 これは空中にあった 全部の時間です。 それから両辺に マイナス 1 をかけます。 初速度は 4.9 メートル 毎秒の2 乗かける このボールが空中にあった 全部の時間になります。 または，これは 9.8 メートル 毎秒の 2 乗かける 空中にあった時間の 半分と言うこともできます。 どちらでも，まったく同じ計算です。 では総距離，または， 上昇の時間に移動した 距離を求めましょう。 するとこれは頂点までの 距離になります。 この距離は，または，この場合は 変位と言うべきでしょうが， 変位は，平均の速度かける 時刻の変化に等しいです。 ここで注目している時刻の 変化はこの上昇の時間です。 するとデルタ t 割る 2 です。 総時間割る 2 です。 これが上昇にかかった時間です。 では平均の速度は何ですか? 一定の加速度を仮定すると， 平均の速度は，初速度 たす最終速度を 2 で割ったものです。 それは実はこの 2 つのものの平均です。 そして，初速度が何かは わかっています。 初速度はここにあるものです。 これがここにあるものです。 最終速度は，思い出して下さい， ここではこのボールが 空中にある時間の 最初の半分の時間 だけを考えています。 すると最終速度は 0 です。 この頂点についた，ここの時の ことについて話をしています。 それは 2 つ前のビデオで話しました。 このここにある頂点です。 すると平均の速度は ここにあるものを 2 で 割ったものになります。 すると 4.9 メートル毎秒の 2 乗 かけるデルタ t 割る 2 になります。 するとここにあるものが 平均の速度です。 平均の速度 (v_{ave})。 ではここに戻ってみましょう。 すると最大の変位は 平均の速度， これは，4.9 メートル毎秒の 2 乗 かけるデルタ t で，これら全部を 2 で割ったものです。 そしてそれに上昇の 時間をまたかけます。 すると，またかける デルタ t 割る 2 です。 これは同じことです。 これらは同じものです。 そしてこれを簡単化できます。 最大の変位は 4.9 メートル 毎秒の 2 乗 かけるデルタ t の 2 乗， これら全部を 4 で割ります。 すると 4.9 を 4 で割ることができます。 4.9 割る 4 は，1.225... 計算機を出した方がよさそうです。 せっかくここまできたのに， これを頭で計算して， ケアレスミスをしたくありません。 4.9 割る 4 は 1.225 に等しいです。 すると，最大変位は， 1.225 かけるボールが空中に あった総時間の 2 乗です。 これはかなり素直な計算です。 すると，これが最大の変位です。 どこまで高く変位するかです。 この時にはボールは静止します。 または，この瞬間には正味の 速度はありません。 そして下の方向に加速をはじめます。 さて，これを使うことができます。 もしボールが空中に 5 秒間あったとしたら， これで 1 つ前のビデオの計算を 確かめることができます。 最大の変位は，1.225 かける 5 の 2 乗，これは 25 ですから， 30.625 になります。 これは 1 つ前のビデオで 計算した答えと同じです。 もしボールが空中に，そうですね， 2.3 秒あったとしましょう。 するとそれは 1.225 かける 2.3 の 2 乗です。 これは 6.48 メートル空中を 登ったことを意味します。 とにかく，私は空気抵抗は 無視できると仮定した時に， 地上からの最大変位を ボールが空中にある 総時間の関数として表す， 簡単な式を示したかったのです。 あなたにはどうかわかりませんが， 私にはこれはとても面白いです。 そしてこれはとても 素敵なゲームだと思います。