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物理学ライブラリ
コース: 物理学ライブラリ > 単位 1
レッスン 4: キネマティックの式と斜方投射時間が与えられたときの斜方投射物の最大変位
斜方投射物の最大変位を経過時間の関数として導きましょう. Sal Khan により作成されました。
ビデオのトランスクリプト
1 つ前のビデオの続きですが, ボールを空中に投げ上げた時, 空中にボールがあった時間が
どれだけかを測りました。 そしてそのボールの初速度が何か, また,空中でどこまで高く
上がるかを求めました。 1 つ前のビデオでは,
特定の数を使いました。 このビデオでは,
その計算を頭の中で, とても速くできるような 興味ある式を導くことが
できるかやってみましょう。 どこかの野原でこのゲームを
している時間ででき, 紙も必要ないような式です。 このボールはデルタ t の間
空中にあるとしましょう。 デルタ t は空中にある
時間に等しいです。 すると上昇 (up) にかかる時間は すると上昇の時間はデルタ t の…。 これは同じ色で書きましょう。 それは空中にある時間を
2 で割ったものに等しいです。 すると初速度は何でしょうか? ここで思い出すべきことは, 速度の変化,それは, 最終速度ひく 初速度と同じだということです。 最終速度は,…
思い出して下さい… このボールのパス (経路) の半分に
ついてだけ話をしているということです。 これが投げられた時刻には, これは上向きの
最大速度を持っていて, それはだんだんゆっくりに
なっていきます。 これは停止する瞬間までだんだん
ゆっくりになっていきます。 それから下に向かっていきます。 ここで加速度はずっと
下向きに一定でした。 すると,この時間の半分を
考えた時には, 最終速度は何でしょうか。 そうですね。半分の時間では, それは 0 です。 すると 0 ひく初速度になります。 それは投げられた時の速度です。 これが速度の変化です。 これが速度の変化で,それは, 重力による加速度, -9.8 メートル毎秒の 2 乗, または,技術的に正しく言えば, ある物体が自由落下する
時の重力による加速度, かける上昇する間の時間です。 すると上昇のデルタ t かける, これは同じことなので
繰り返して書くことはしません。 上昇のデルタ t は,空中に
あった全部の時間を 2 で割ったものに等しいです。 するとマイナスの初速度が これに等しくなります。
これを 2 で割ると, 4.9 メートル毎秒の 2 乗になります。 まだマイナスが最初にあります。 これかけるデルタ t です。 思い出して下さい。これが空中に
あった全部の時間です。 これは上昇だけの
時間ではありません。 これは空中にあった
全部の時間です。 それから両辺に
マイナス 1 をかけます。 初速度は 4.9 メートル
毎秒の2 乗かける このボールが空中にあった
全部の時間になります。 または,これは 9.8 メートル
毎秒の 2 乗かける 空中にあった時間の
半分と言うこともできます。 どちらでも,まったく同じ計算です。 では総距離,または, 上昇の時間に移動した
距離を求めましょう。 するとこれは頂点までの
距離になります。 この距離は,または,この場合は
変位と言うべきでしょうが, 変位は,平均の速度かける
時刻の変化に等しいです。 ここで注目している時刻の
変化はこの上昇の時間です。 するとデルタ t 割る 2 です。 総時間割る 2 です。 これが上昇にかかった時間です。 では平均の速度は何ですか? 一定の加速度を仮定すると, 平均の速度は,初速度 たす最終速度を 2 で割ったものです。 それは実はこの 2 つのものの平均です。 そして,初速度が何かは
わかっています。 初速度はここにあるものです。 これがここにあるものです。 最終速度は,思い出して下さい, ここではこのボールが
空中にある時間の 最初の半分の時間
だけを考えています。 すると最終速度は 0 です。 この頂点についた,ここの時の
ことについて話をしています。 それは 2 つ前のビデオで話しました。 このここにある頂点です。 すると平均の速度は ここにあるものを 2 で
割ったものになります。 すると 4.9 メートル毎秒の 2 乗 かけるデルタ t 割る 2 になります。 するとここにあるものが
平均の速度です。 平均の速度 (v_{ave})。 ではここに戻ってみましょう。 すると最大の変位は 平均の速度, これは,4.9 メートル毎秒の 2 乗 かけるデルタ t で,これら全部を
2 で割ったものです。 そしてそれに上昇の
時間をまたかけます。 すると,またかける
デルタ t 割る 2 です。 これは同じことです。 これらは同じものです。 そしてこれを簡単化できます。 最大の変位は 4.9 メートル
毎秒の 2 乗 かけるデルタ t の 2 乗, これら全部を 4 で割ります。 すると 4.9 を 4 で割ることができます。 4.9 割る 4 は,1.225...
計算機を出した方がよさそうです。 せっかくここまできたのに,
これを頭で計算して, ケアレスミスをしたくありません。 4.9 割る 4 は 1.225 に等しいです。 すると,最大変位は, 1.225 かけるボールが空中に
あった総時間の 2 乗です。 これはかなり素直な計算です。 すると,これが最大の変位です。 どこまで高く変位するかです。 この時にはボールは静止します。 または,この瞬間には正味の
速度はありません。 そして下の方向に加速をはじめます。 さて,これを使うことができます。 もしボールが空中に
5 秒間あったとしたら, これで 1 つ前のビデオの計算を
確かめることができます。 最大の変位は,1.225 かける
5 の 2 乗,これは 25 ですから, 30.625 になります。 これは 1 つ前のビデオで
計算した答えと同じです。 もしボールが空中に,そうですね, 2.3 秒あったとしましょう。 するとそれは 1.225 かける
2.3 の 2 乗です。 これは 6.48 メートル空中を
登ったことを意味します。 とにかく,私は空気抵抗は
無視できると仮定した時に, 地上からの最大変位を ボールが空中にある
総時間の関数として表す, 簡単な式を示したかったのです。 あなたにはどうかわかりませんが,
私にはこれはとても面白いです。 そしてこれはとても
素敵なゲームだと思います。