高さが与えられた時の衝突速度

私がこのビデオでしたいことは， とても昔からある質問， 少なくとも私には興味ある， ある質問に答えることです。 そしてその質問ですが，ここに こんなふうなでっぱりというか， 崖，または何かの建物が あるとしましょう。 そしてその高さを h とします。 高さはこのように h あるとします。 そしてここで私が知りたいことは，… ここに私がいるとしましょう。 これが私です。 もし，私がここから飛び降りたら， これは h が大きい時には まったくおすすめできませんが… または，私が何かを 投げたとしましょう。 石か何かをこの でっぱりから投げます。 その時には，私，または，この石は， 地面に衝突する直前にはどれだけの 速さになっているでしょうか? ここでの他のビデオでも全部同じですが， 投射の問題では， 空気抵抗は無視します。 小さな h の時には， 速度も小さいので， 実際にそれは妥当です。 または，投げる物体がとても 空気抵抗が少なくて， 密度の高いものであれば， 空気抵抗は あまり気にする必要はありません。 もしこれが私で，高高度からお腹が ばたばたするような時には， 空気抵抗は重要になります。 しかし簡単のために，空気は ないものと考えましょう。 または，空気抵抗の 影響は考えないとします。 あるいは，ここは地球 みたいな惑星ですが， 大気がないというふうに 仮定してもいいです。 どのように考えてもかまいません。 では，この問題について考えてみましょう。 あなたのうちの何人かは， これは現実的ではないと 言うかもしれません。 しかしこれは実際に小さな h の時には現実的です もし，1 階建ての建物から 飛び降りる時などに， あなたの速度を求める時には 空気抵抗は重要ではありません。 もっと高いビルだったら， 空気抵抗は重要になります。 そして私はこれらのどれも おすすめしません。 どんな場合でも飛び 降りるのは危険なことです。 ですから落とすなら石に したほうがいいでしょう。 実はそれがこれから 考える例題です。 ではこれについて少し 考えてみましょう。 ここで求めたいものは… 頂上では， ここで物が落とされた時， ここで石が落とされた時， 物の初速は 0 です。 もう一度，ここでの慣習ですが， 正の速度は上向きです。 または正のベクトルは上を意味し， 負のベクトルは下を意味します。 ここでの初速は 0 になるでしょう。 そして，この底では， 最終速度があります。 これは負の数になるでしょう。 すると，ここでは 何か負の値になります。 するとこれは負になります。 このここでは負の数になります。 私たちは自由落下する物体の 重力加速度を知っています。 地球の表面近くでのある物体の 自由落下の時です。 それは知っています。そして私たちは それは一定であると仮定します。 するとここでの一定の加速度は， -9.8 メートル毎秒の 2 乗です。 すると，私たちは， ある h が与えられ， 初速度が 0 であると与えられた時， 加速度が -9.8 メートル 毎秒の 2 乗の時， 地面に衝突直前のここでの， 最終速度が何かを 求めたいと思います。 ここでの h の単位はメートルで 与えられると仮定します。 そして，最終速度の単位は， メートル毎秒で得るとします。 では，これをどうやって 求めるか見てみましょう。 いくつかの基礎のことがらは わかっています。 ここで私が見せたい点は， これよりももっと興味ある 質問の答えでも， もう知っているとても基本なことから いつも導くことが できるということです。 私たちは，変位が 平均の速度かける 時刻の変化であると 知っています。 そして平均の速度は， もし加速度が一定と 仮定するのならば， それはここでしていること ですが，平均の速度は， 最終速度たす初速度を 2 で割ったものです。 ここでの時刻の変化は， 経過時間の全体です。 それは，…。これは速度の変化です。 すると経過時間は同じことですが， ちょっとそれをこちらに書く ことにします。経過時間は， 速度の変化割る加速度と 同じことです。 ここであなたが理解しているか 確認しておきたいのですが， それは加速度が，… またはこう書くことにしましょうか… 速度の変化は 加速度かける時間だと いうことから素直に 出てくるものです。 または加速度かける時刻の 変化と言うべきかもしれません。 この等式の両辺を 加速度で割れば， ここにあるものが出てきます。 するとこれが変位です。 思い出しましょう。 私は変位の式が欲しいのですが， それは私が知っている ものを使って， 知りたいものを求める形で 欲しいのです。 そうですね。 ここにあるこの例では， 私たちはいくつかのことに ついて知っています。 いや，実は，一歩ずつ やっていきましょう。 初速度は 0 だと知っています。 この例題の最初の 式ですることは， 平均の速度は最終速度 割る 2 ということです。 なぜなら，初速度が 0 だからです。 速度の変化は， 最終速度ひく 初速度と同じことです。 もう一度，ここでの初速度は 0 だと知っています。 すると速度の変化は， 最終速度と同じです。 するともう一度，これかける， ここで速度の変化と書く代わりに， 最終速度だけを 書くことができます。 なぜなら，最初は速度が 0 だったからです。 初速度は 0 です。 すると，これかける 最終速度割る加速度です。 ここで最終速度は 速度の変化と同じです。 なぜなら初速度が 0 だからです。 そしてこれら全部が 変位になります。 これでここにあるものは 全部私たちが 知っていることで 書かれたようです。 ではここで，この式の両辺， この方程式の両辺に 2 かける 加速度をかけます。 これを右辺に， 左辺にも， 同じ色を使いましょう。 2 かける加速度をかけます。 左辺は 2 かける加速度 かける変位で， これが等しいのは， 右辺では，2 と 2 がキャンセルされ， 加速度と加速度が キャンセルされます。 それは最終速度の 2 乗に等しくなります。 最終速度かける最終速度です。 すると，ここで最終速度について 解くことができます。 すると，加速度はマイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗です。 ではこれをここに 書いておきましょう。 これはマイナスの 9.8 … 2 かけるマイナス 9.8… これはかけてしまいましょう。 これは -19.6 メートル 毎秒の 2 乗です。 それから，変位は何でしょうか? ここでこの棚，または崖の 上から岩を落した時の 変位は何になりますか? すると，ここでの変位は h だと 言いたくなるかもしれません。 しかし，思い出して下さい。 これはベクトル量でした。 すると，方向を正しく しなくてはいけません。 石が落ちる時，どこから スタートしてどこへ行くでしょうか? それは距離 h 移動します。 しかし，それは距離 h だけ 下の方へと移動します。 私たちの慣習は下の 方向は負でした。 するとこの例では，変位は 手から離れて地面に当たるまで， この変位は -h に等しくなります。 これは h の距離を移動します。 しかしそれは距離を 下方へと移動します。 これがベクトルの記法が 重要になる理由です。 私たちの慣習はここで 重要になります。 ここでの変位は -h メートルになります。 これは変数です。 そしてこれはメートルを 短く書いた単位です。 するとこれら 2 つの ことをかけると， ラッキーなことにこれらの マイナスがキャンセルされます。 そして 19.6 h メートル 2 乗 毎秒の 2 乗が， 最終速度の 2 乗に 等しくなります。 ここで注意して下さい。 何かを 2 乗した場合， 符号の情報は 失なわれてしまいます。 もし最終速度が正の場合， それを 2 乗すると， 正の値になります。 もし，それが負の場合でも， それを 2 乗すると， やはり正の値になってしまいます。 しかし思い出して下さい。 この例題では， 物は下方に移動しています。 すると，これの負のバージョンが 欲しいのですね。 すると最終速度を本当に 求めたい場合には， 基本的に，この方程式の両辺の 負の平方根をとります。 もしこの両辺の平方根を とりたい場合は， こちら側の平方根をとり そしてこちら側の平方根を とります。すると得られるのは... これらを入れ替えます。 最終速度は，19.6 h の平方根に 等しいと言えます。 また，メートルの 2 乗割る秒の 2 乗の平方根をとることもできます。 これは単位ですが，まるで変数の ように扱うことができます。 そして根号の外は， メートル毎秒の 2 乗になります。 ここで注意したいことですが， ここでの主平方根は， 正の平方根のことです。 しかし私たちはここでの速度が 下に向かっていることを知っています。 なぜならそれがここでの慣習 だからです。(単にそう決めた) ですから，負の平方根をとることを 確認したいと思います。 ではいくつかの数を 試してみましょう。 ここでは基本的に このビデオの最初で 解こうとしたことを解きました。 それは高さの関数として， どれだけ速くものが落ちるかです。 では，何か試してみましょう。 そうですね高さは，… 何でもいいのですが… では高さを 5 メートルと しましょう。 それはだいたい 1 階建ての家の高さ， 多分商業的な 1 階建ての 建物の上から， 飛びおりたり，石を投げたり した時のようなものでしょう。 それがだいたい 5 メートルでしょう。 (15 フィート位でしょう。) そうですね。だいたい商業的な 建物の屋根ぐらいでしょう。 やってみましょう。 では，スイッチを入れます。 では，何になりますか? 5 メートルをここに置きます。 19.6 かける 5 は， 98 に等しいです。 だいたい 100 ですね。 それから，この平方根をとります。 するとだいたい 10 になるでしょう。 98 の平方根は，だいたい 9.9 です。 そして私たちはこの場合， 高さが 5 メートルの時の 負の平方根を探していました。 するともしあなたが 1 階建ての 商業的なビルから飛び降りたとしたら， この底の所であなたは， または石を投げた場合， この底，ちょうど地面に 衝突する直前で， 速度は -9.9 メートル毎秒に なるでしょう。 -9.9 メートル毎秒です。 ここからはあなた次第ですが， 練習問題として， これがキロメートル毎時，または マイル毎時でどれだけの速度かを 求めてみて下さい。というのも これはかなり速いものだからです。 ですからあなたはこれを しようと思わないでしょう。 そしてこれは単に 1 階建てのビルです。 これは比較的簡単に 求められるでしょう。 この式は地表に適度に近く， 空気抵抗が無視できれば， 本当にどんな高さでも使うことができます。 かなりの高度であったり，特に 空気抵抗が大きいような 物体でしたら， 空気抵抗などの問題が 重要になってきます。