斜方投射物の変位，加速度，速度のプロット

私がこのビデオでしたいことですが， もう私たちは一定の加速度と 初速度が与えられた時の 変位を時間の関数として求めました。 そこでここでは変位，最終速度， 加速度をプロットしたいと思います。 これらは皆，時間の関数です。 こうすることで，ボールを上に投げて， 落ちてくる時に何が起こるか 理解できるでしょう。 これが時間の関数としての 変位です。 最終速度が時間の関数として 何になるかも知っています。 これについては前の ビデオで話をしました。 最終速度は，初速度たす， 加速度かける時刻の変化です。 そうでしょう? もし私たちがある 初速度で動きはじめた時， その加速度に時間をかけます。 この部分は，あなたが初速度 よりもどれだけ速くなるか または遅くなるかを 言っている部分です。 そしてそれは，そうですね， こう言えるかもしれません。 それはあなたの現在の速度， またはある時刻における あなたの最終速度です。 もちろん，加速度については，… ここでの加速度はとても素直です。 重力による加速度は，単に -9.8 メートル毎秒の 2 乗です。 もう一度，マイナスは慣習で， 下の方向を向いている という意味です。 初速度は上向きの 19.6 メートル毎秒です。 ではこれらをちょっと プロットしてみましょう。 これらをプロットしてみましょう。 私が描きたい最初のグラフは， ここにしますが， それは変位と時間のグラフです。 こちらの軸は時間です。 多分，この軸は時刻の変化 と呼ぶこともできます。 いや，単に時間としましょう。 ここのこの軸を，変位と呼びます。 ここにいくつか目盛りをつけましょう。 これは 5 メートル，10 メートル， 15 メートル，20 メートルです。 時間軸では，これは 0, 1, 2, 3, そしてここが 4 秒です。 ここのこれは秒です。 これはメートルです。 5, 10, 5, 10, 15, 20. するとこれが変位です。 変位のグラフ。 そして同時に， 速度のグラフも描きたいです。 速度のグラフもこのように 描きましょう。 ちょっと違うようにしたいと思います。 なぜなら，速度のグラフは 上下するからです。 ここでは正と負の値が必要です。 時間は正だけです。 ここでの時間は 1 秒， 2 秒， 3 秒， 4 秒が時間軸にあります。 そしてこちらを速度と呼びます。 これは 10 メートル毎秒， これは 20 メートル毎秒です。 ここはマイナスの 10 メートル毎秒， そしてここは -20 メートル毎秒です。 そしてこれらの単位は 全てメートル毎秒です。 ここにあるものは速度です。 この軸は時間軸です。 これが速度のグラフです。 さて，ではここには加速度の グラフも描きましょう。 とはいっても，ある意味， これは一番簡単なグラフです。 加速度のグラフですが， これから描いてみましょう。 ここでは加速度は一定 だと仮定しています。 これが 1 秒, 2 秒, 3 秒, そして 4 秒です。 そしてここを -10 としましょう。 そしてこれら全部の単位は メートル毎秒の 2 乗です。 この加速度は負の 9.8 メートル 毎秒 の 2 乗だとわかっています。 すると 4 秒間全体に わたっての加速度は マイナス 9.8 になります。 こうなるでしょう。 時間全体にわたって一定の 加速度になります。 変位と速度についても 求めてみましょう。 ここに小さな表を書きましょう。 1 つの列には，時刻の 変化を書きます。 または，これを時間と 言うこともできます。 では最終速度が 何かを求めましょう。 実はそれぞれの時刻での 最終速度ですから， 現在の速度と言うべきでしょう。 この列では，変位が何かを 求めたいと思います。 変位は何か? 私はそれを 0, 1, 2, 3, 4 の時刻で求めます。 または時刻の変化です。 0 秒後，1 秒後，2 秒後， 3 秒後，4 秒後です。 そうですね。これを時刻の 変化の軸と呼びましょう。 なぜならこれは実は何秒が経過 したかを示しているからです。 これが時刻の変化の軸です。 このグラフが何のグラフか はっきりさせましょう。 グラフのラベルを 書いていなかったです。 これは加速度のグラフです。 ちょっと画面から はみだしてしまいました。 よし。 では，これらを埋めていきましょう。 時刻 0 では，速度は何でしょうか? このここにある式を使います。 時刻 0 の時， またはデルタ t が 0 に等しい時は， ここにある式は 0 に等しくなります。 それはここでの初速度になります。 1 つ前のビデオで初速度を (私が適当に) 決めましたが， それは 19.6 メートル毎秒でした。 するとこれは 19.6 メートル 毎秒になるでしょう。 それをここでプロットしてみましょう。 時刻 0 の時，これは 19.6 メートル毎秒です。 時刻が 0 の時，あるいは時間 が 0 秒経過した時の 初期の変位は何ですか? それをここで見てみましょう。 デルタ t は 0 です。 するとこの項は 0 になります。 こちらの項も 0 に等しくなります。 すると，変位はまだありません。 時間が経過していない時 には変位もありません。 ですから変位は 0 です。 私たちはこの点にいます。 では，1 秒が過ぎたら 何が起きますか? 新しい速度は何ですか? 初速度はここにあり， 19.6 メートル毎秒です。 19.6 メートル毎秒， これは与えられています。 加速度はマイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗です。 それは負の値で，ここにあります。 そしてそれぞれの場合で， これにデルタ t をかけます。 この場合には，1 をかけます。 なぜならデルタ t が 1 だからです。 すると 19.6 ひく 9.8 で， これはちょうど 9.8 メートル 毎秒になります。 単位も正しいですね。 なぜならこれかける秒で， メートル毎秒になるからです。 19.6 メートル毎秒ひく 9.8 メートル毎秒ですが， これらの秒のうちの 1 つは， 秒をかけるとキャンセルされます。 すると 9.8 メートル毎秒になります。 1 秒後に速度は 前の半分になりました。 すると，これで今は 9.8 メートル毎秒になりました。 ここで直線をひいてみましょう。 9.8 メートル毎秒です。 では変位はどうなりましたか? こちらを見ましょう。 この変位の式を，私たちの 知っている情報を 全部入れて書き直しましょう。 変位が等しいのは初速度， それは 19.6… ここではスペースがないので 単位は書きませんが， これらかける時刻の変化です。 これらは同じ色にしましょう。 そうすれば何が何かわかります。 かける時刻の変化たす 1/2… しかしはっきりさせましょう。 1/2 かけるマイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗です。 1/2 かける a はどうなるかというと… そうですね。これもここに 書き直すことができます。 なぜならこれはマイナス 9.8 メートル 毎秒かける 1/2 だからです。 するとこれはマイナス 4.9 になります。 ここでしたことは，ここの 1/2 かける マイナス 9.8 を計算しただけです。 1/2 かけるマイナス 9.8 です。 これは重要です。 ここでベクトル量が意味を持って くることに気がついたでしょう。 もしベクトル量でなければ， つまりもし正の値を使うと， 上に投げた時に速さが ゆっくりになっていく物体を 表現できないからです。 (正の値しかないと) 上に 何かを投げ上げた時にも 重力のためになぜか 加速していくでしょう。 しかし実際には速さは小さく なります。下に引っ張られます。 これは下方に加速していきます。 これがなぜここにマイナスが なくてはいけないのか理由です。 これは前のビデオで使い 始めた私たちの慣習です。 上方向を正の方向に， 下方向を負の正方向にしました。 では集中しましょう。 ここにある部分はマイナスの 4.9 メートル毎秒の 2 乗 かけるデルタ t の 2 乗です。 そしてこれは (ここで使っている 数は) 少し簡単になっています。 それでもまだ， 計算機を使いましょう。 1 秒が経過した時，… 私の信頼する TI-85 を出します。 1 秒が経過した時， 変位は 19.6 かける 1 に… これは単に 19.6 です。 ひく 4.9 かける 1 秒の 2 乗です。 するとこれも単にマイナス 4.9 です。 これは 14.7 メートルになります。 すると 1 秒後には，ボールは 空中を 14.7 メートル移動しました。 それはだいたいこのあたりでしょう。 さて，2 秒後にはどうなりますか? これはマジェンタ色で書きます。 2 秒後には速度は 19.6 ひく 9.8 かける 2 です。 2 秒が経過しました。 9.8 メートル毎秒の 2 乗かける 2 秒は， 19.6 メートル毎秒に等しいです。 するとこれらは単に キャンセルされます。 ですから今の速度は 0 になります。 すると 2 秒後には， 速度は 0 になります。 ちょっと，これは… これは実は直線であるべきです。 あなたに変な印象を与えたくないです。 ここではこんなふうに 直線を描いておきましょう。 2 秒経過した後の 今の速度は 0 です。 変位はどうなるでしょうか? ここは文字通り，ボールの 速度がない (0 の) 点です。 それはきっかり 2 秒後です。 するとこのボールは上に上がって， そしてここはちょうどこの ボールが停止した時刻です。 では変位はどうなるでしょうか? 19.6 があります。これにつ いても計算機を使いましょう。 手で計算することもできますが， テンポを良くするために計算機で，… 19.6 かける 2， 19.6 かける 2 秒ひく 4.9 かける 2 秒の 2 乗です。 これは 2 秒の 2 乗です。 おっと，計算機が消えました。 かける 2 秒の 2 乗。 するとこれはかける 4 です。 すると 19.6 メートルになります。 すると 19 の…これは マジェンタ色で書きましょう。 19.6 メートルの所にいます。 すると 2 秒後には，空中の 19.6 メートルのところにいます。 では 3 秒後に行きしょう。 3 秒後には，速度は どうなるかというと… それは 19.6 メートル毎秒 ひく 9.8 かける 3 です。 これは頭で暗算することも できるでしょうが， 確認しましょう。 計算機を出します。 19.6 ひく 9.8 かける 3 です。 するとマイナスの 9.8 メートル毎秒になります。 すると 3 秒後には，速度は マイナス 9.8 メートル毎秒になります。 これはどういう意味でしょうか? これは今，下に向かって 9.8 メートル毎秒で動いています。 これは速度のグラフです。 この時点での変位は何になりますか? もういちど，計算機を出しましょう。 これのこつがのみこめて きたようでしたら， いつでもいいですが，ぜひビデオを ポーズして自分自身で 試してみて下さい。 ではこれがどうなるかですが…OK。 変位を求めたいのですね。 ここに書きました。 デルタ t が 3 秒の時の変位は， 19.6 かける 3 ひく 4.9 かける… これがデルタ t です。 ここでは 3 秒です。 ここではデルタ t，時刻の変化，が 3 秒の時について話をしています。 するとこの 2 乗です。 すると，かける 9 です。 それは 14.7 メートルになります。 3 秒後には，また 14.7 メートルになります。 すると 1 秒後の時と 同じ位置になります。 しかしここでの違いは， 今は下に動いていることです。 こちらでは上向きに 移動しています。 そして最後は，4 秒後には 何が起こるでしょうか? そうですね。速度は何ですか? では計算機を出しましょう。 でも，あなたの頭の中でも 暗算できるかもしれません。 速度は 19.6 ひく 9.8 かける 4 秒です。 それはマイナス 19.6 メートル毎秒です。 すると速度の大きさは同じです。 ボールを最初に投げた時と 同じ速度の大きさですが， 今は逆の方向を 向いて移動しています。 今は下の方向に動いています。 変位は何になりますか? 計算機を出しましょう。 変位は 19.6 かける 4， 4 秒が経過しました。 これひく 4.9 かける，4 の 2 乗です。 それは 16 です。するとかける 16 で，これは 0 に等しいです。 変位は 0 になりました。 (ボールは) 地面に戻ってきました。 地面に戻りました。 もしこの変位をプロットすると， 実は放物線になります。 下方に開いた放物線は， こんな感じになります。 あるていどわかるように 私のベストをつくします。 実はもう少し上手くできると思います。 点線でやってみます。 点線の方が途中で 調整できるので簡単です。 もし時間に対する 変位をプロットすると， こんな感じになります。 速度はこのような下に 傾いた直線になります。 そして加速度は一定です。 どうして私がこれを 見せているかの理由ですが， 私は速度がずっと一定の割合で 減少していることを見せたいのです。 それは意味が通りますね。 なぜなら速度が増加あるいは減少する 割合が加速度 (の定義) だからです。 そしてこの加速度は私たちの 慣習によれば，下向きです。 だから減少しています。 ここには負の傾きがあります。 負の 9.8 メートル毎秒の 2 乗 という負の傾きがあります。 そしてこのボール，または岩に 何が起きているのかについて 考えてみましょう。 ちょっとこのビデオは長くなってますね… それが空中にある時の速度の ベクトルを描いてみたいと思います。 それをオレンジ色で描いてみます。 いや，青にしましょう。 速度を青で (描きます)。 まず，始まりには 19.6 メートル毎秒の 正の速度があります。 ですからこのような 大きなベクトルを描きます。 19.6 メートル毎秒， それがここの速度です。 それから 1 秒後には， 9.8 メートル毎秒になります。 ですからこの半分です。 多分，何かこんな感じでしょう。 9.8 メートル毎秒です。 ここの頂上では速度は 0 です。 3 秒すぎると，その速度の大きさは 9.8 メートル毎秒になります。 しかし今度は下向きです。 するとこんな感じでしょう。 それから，最後に地面に着きます。 地面に着く直前では， これはマイナスの 19.6 メートル毎秒の速度です。 するとこんな感じでしょう。 だいたいこんな感じでしょう。 もしこれらを同じスケールで 描く場合はです。 しかし，全部の時間を通しての 加速度は何だったでしょうか? 全部の時間を通して， 加速度は負でした。 それはマイナスの 9.8 メートル 毎秒の 2 乗です。 これはオレンジ色でやりましょう。 ここでの加速度は，負， おっと，これはオレンジで 描きたかったのです。 この加速度は，マイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗でした。 この加速度はマイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗， マイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗， 加速度は時間全体を 通して一定です。 この最後のものもこのマイナスの 9.8 メートル毎秒の 2 乗です。 地球上の地上近くにいる場合， この曲線のどこにいるかに関係なく， (加速度は) 変化しません。 これで物を空中に投げた時に， 何が起こるかについてが 少し明らかになると嬉しいです。