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時間が与えられたときの斜方投射物の高度

ビデオのトランスクリプト

たとえば,あなたと私が 空中にボールをどれだけ 高く投げられるか または空中にどれだけ 速くボールを 投げられるかのゲームを しているとしましょう。 ここでは一人がボールを持っていて, もう一人がストップウォッチを 持っているとしましょう。 これが私のベストの絵です。 ストップウォッチというよりも ネコみたいですね。 しかし何がしたいかは おわかりでしょう。 私たちの一人がボールを投げて, もう一人がボールが空中にどれだけの 時間あるのかを測るとします。 そしてここで私たちは, ボールが空中にある時間から, ボールがどれだけの速さで 上に投げられたかと, 空中にある時間からどれだけ高く 投げられたかを求めましょう。 ここで 1 つの仮定を置きます。 率直に言って, 投射運動問題の全てで この仮定をします。 それは「空気抵抗は無視 できる」というものです。 それはたとえば,野球の ボールのようなものなら, たいへん良い近似です。 つまり,ここでは厳密な 答えは求めません。 そして私はあなたに自分で 空気抵抗が計算の結果にどれだけ かかわるか試して欲しいと思います。 しかし,この投射運動問題では, また,実は今後のもの全てで, 少なくともこの基本の物理の プレイリストでは,これを仮定します。 「空気抵抗は無視できる」 という仮定をします。 そうすると, ボールがその頂点の高さに 行くまでの時間と そこから落ちてくるまでの 時間が同じだと仮定できます。 もし変位と時間に ついてのプロットをした 1 つ前のビデオを ご覧になっていたら, 2 秒後には地上から, または投げる人の手からと言う 方がいいかもしれませんが, その頂点の高さまで行きます。 そして次の 2 秒で, つまり上がるのと同じ時間で, 地上に戻ってきます。これは 意味が通りますね。 初速度が何であったにせよ, (速度が) 0 になるまでには 半分の時間がかかります。 そして同じ時間かかって, 今度は下の方向に加速していき, (初速度と) 同じ速度の 大きさに戻ります。 しかし方向は下の 方向になっています。 ではちょっとこれらの数を 考えてみましょう。 ここではもう少し具体的な 感じをつかみたいと思います。 では,私が空中にボールを 投げ上げるとします。 そして,あなたがストップウォッチ を使って時間を測ります。 そうしたらこのボールが空中に 5 秒間いたとしましょう。 どうしたら私が投げた上げた時の ボールの速さがわかるでしょうか? そうですね。最初に言えることは, もし空中にボールがある時間が 全部で 5 秒間だとしたら, それは… ちょっと書いておきましょう。 つまりそれは上に上がる 最初の半分の時刻の変化, ボールが上がっていく時の空中 にある時間は 2.5 秒です。 それはこの 2.5 秒です。 初速度,それが何であったにせよ, 最終速度は 0 メートル毎秒になり, 初速度から最終速度になるまでに かかる時間は2 と 1/2 秒になります。 そしてこれはこの例題の グラフではありません。 これは前の例題のもので, その時には初速度が わかっていました。 しかしここの時間が何であれ, ボールの速度は初速度から頂上 の静止の速度にまで変化します。 そうでしょう? ボールは 静止して,それから 下の方向に速度を 増やしていきます。 つまりそれには 0 秒の時の初速度 から,2.5 秒間かかります。 私は重力の加速度を知っています。 ここでは,重力加速度は 一定だと仮定します。 実はほんの少しだけ一定では ありません。 しかしそれは一定だと仮定します。 もし私たちが地表面に近い場合 を扱っているのであれば, それは 9.8 メートル 毎秒の 2 乗です。 ではこれについて考えてみましょう。 速度の変化は最終速度ひく 初速度です。 それは,0 ひく初速度と同じです。 それはマイナスの初速度です。 速度の変化を考える他の 方法は何でしょうか? そうですね。加速度の定義から, 速度の変化は加速度, -9.8 メートル毎秒の 2 乗かける時間です。 または,時刻の変化です。 ここではボールが空中にある時間の 最初の半分について話をしています。 ここでの時刻の変化は 2.5 秒です。かける 2.5 秒。 では速度の変化は何ですか? それはまたマイナスの 初速度に等しいです。 私の計算機をスクリーンに出します。 するとそれは -9.8 メートル毎秒 の 2 乗かける 2.5 秒です。 それは -24.5 です。 これは,… 新しい色で 書きましょう。 これは -24.5 メートル 毎秒になります。 この秒はこちらの分母の秒と キャンセルされます。 すると分母の 1 つの秒 だけが残ります。 ですからこれはメートル毎秒です。 するとこれはマイナスの 初速度と同じです。 これは速度の変化と同じです。 そして両辺にマイナスをかけます。 初速度が得られました。 これで速度が何かを 求めることができました。 すると文字通り,空中に ある全部の時間をとって, それを 2 で割り, それに重力加速度をかけます。 その絶対値をとる, またはこの数の正の値をとります。 そうすると,初速度が得られます。 するとここでの初速度は文字通り, 24.5 メートル毎秒です。 これは正の値ですから, この例では上向きになります。 これが初速度です。 私たちはこのゲームの一部分 を求めることができました。 つまり上に投げる時の 初速度がわかりました。 そしてまたそれは このボールが地面に当たる時の 速度の大きさと同じです。 しかしそれは逆の方向です。 この距離は何かというと…, またはもう少しはっきり言うと, ボールの最低の点, あなたの手を離れた直後から このピークに着くまでの 変位は何か? ここで覚えておくことは, もう一度言いますが, ここにある全部はとても 素直なアイデアばかりです。 たとえば,速度の変化は加速度 かける時刻の変化である。 そして他の簡単なアイデアは, 変位は平均の速度かける 時刻の変化に等しい。 さて,ここでの平均の速度は何ですか? 平均の速度は初速度 たす最終速度割る 2 です。 もし加速度が一定の場合を 仮定すればそうです。 それは文字通り,初速度と 最終速度の算術平均です。 それは何ですか? それは 24.5 メートル毎秒たす,… 最終速度は何でしたか? この場合,思い出して下さい。 ここでは最初の 2.5 秒の話です。 ですから最終速度は 0 メートル毎秒でした。 今の話は,ここのこの点に到達 するまでについての話でした。 最終速度は,0 メートル毎秒でした。 それを 2 で割ります。 これで平均の速度がわかりました。 そしてそれに 2.5 秒を かけたいと思います。 すると,ここの部分は, 24.5 割る 2 です。 この 0 は無視できます。 そうしても 24.5 に 変わりはありません。 これは 12.25 かける 2.5 になります。 思い出して下さい。 ここの部分は秒でした。 この単位を書いておきましょう。 するとこれは 12.25 メートル 毎秒かける 2.5 秒です。 これは単に何だったかというと, 最初の 2 と 1/2 秒の変位 を計算しています。 するとこれが何になるかというと, もう一度計算機を出しましょう。 12.25 かける 2.5 秒は 30.625 です。 するとこれは,つまり変位は, 30.625 メートルです。 これらの秒はキャンセルされて, メートルになります。 これは実は大きい値ですね。 これはだいたい,90 フィート空中に 投げたことになります。 すると,これは 9 階建 のビル位になります 私はそんなには投げられません。 しかし誰かがこのボールを 5 秒間空中に投げる ことができたとしたら, それは空中に 30 メートルの 高さまで投げられたでしょう。 そうですね。これが面白 かったらいいのですが。 次のビデオでは,これを もっと一般化しましょう。 多分,もっと式の形で 得られるでしょう。 多分,これを一般化する ことができるでしょう。 時間の値によらず, 空中にある変位が 何かわかるでしょう。 もっと良いことがあります。 自分自身で導いてみましょう。 少なくとも,私は次のビデオで これにとりくんでみます。