斜方投射 (パート 4)

さて，前回導いた式を 使いましょう。 前の問題に戻り，… 少なくとも前に解いた問題と 同じ問題を考えます。 その式をまた書いてみましょう。 いや，そうですね。 まず問題を書きましょう。 また崖があるとします。 そして，最初の 距離を 0 とします。 しかし物体は 500 メートル 下に落ちます。 ここでは崖をまた描き なおしはしません。 というのも，この限られた黒板の 大きな部分をとるからです。 距離の変化は， -500 メートルに等しい ことを知っています。 ここでは，ボールや 1 ペニー など，何でもいいですが， 単純に崖からは落とさない 例を使います。 その代わりに， 私はそれを投げ上げます。 するとその物体はまず上に向かって 飛び，重力によって遅くなり， やがて速度は 0 になり，下に 向かって加速しはじめます。 他の方向に減速するとも 言えるかもしれません。 初速度 vi は 30 メートル 毎秒に等しいです。 そしてもちろん，加速度は -10 メートル毎秒の 2 乗です。 なぜなら，重力による 加速はいつも下の方向， または，この惑星の中心の 方向を向くからです。 もし最終速度を 求めたい場合には， 前のビデオで求めた式を 使うことができます。 vf の 2 乗は vi の 2 乗 たす 2ad に等しい。 さてここで私がしたいことは， 一番最初のビデオで 学んだ式を使って，底につくまで， または地面に激突するまでに どれだけの時間がかかるかを 求めることです。 その式を使ってみましょう。 距離の変化は初速度 かける時間たす， 加速度かける時間の 2 乗割る 2 に等しいです。 そしてこれが初速度です。 距離の変化は，-500 です。 そしてそれは初速度，それは 正の値で上に向かって 30 メートル毎秒， すると 30 かける t です。 ここでは私は単位を 書くことはしません。 というのも単にスペースが 足りないからです。 しかし，あなた自身で 単位を確認できるでしょう。 そして，単位も上手く いっていることを見て下さい。 時間を 2 乗すると，時間の 2 乗の単位になります。 ここでは時間について 解いています。 それから，たすことの加速度です。 加速度は -10 で， それを 2 で割ります。すると -5 かける t の 2 乗です。 -500 があり，これは 30 t たす -5 t に等しいです。 そして -5 かける t の 2 乗と言うことができて， このプラスは消せます。 すると，サルマン，t があって，それは t の 1 乗で，そして t の 2 乗もある。 どうやってこれは解くのですか? とあなたは言うかもしれません。 あなたがどこかでもう 代数学を習っていて， これをどうやって解くのかを 覚えていたら嬉しいです。 そうでない場合には， 2 次方程式について学びましょう。 でも私はその場合には ちょっと戻って， 2 次方程式の因数分解を 学ぶことをおすすめします。 私はそのためのビデオもつくって YouTube に上げてあります。 もし思い出せないなら，それらの ビデオをまずみて欲しいです。 さて，これらの 2 つの右辺の項を 左辺に持っていきましょう。 そして，これを解くために， 多分これは簡単には因数分解 できそうにないからです。 すると，5t^2 - 30t - 500 が， 0 に等しくなります。 私はこれらの項をとって， 左辺に置いただけです。 ちょっと簡単にするために， 両辺を 5 で割ってもいいでしょう。 すると，t^2 - 6t - 100 が， 0 に等しくなります。 いいですね。というのも，(右辺の) 0 割る 5 は単純に 0 だからです。 ちょっとこれをきれいにしました。 では2 次方程式の解の 公式を使いましょう。 そして，これが思いだせない人の ためにそれを書いておきます。 2 次方程式の根ですが，この 場合は t について解いています。 すると t が等しいのは， -b プラスマイナス 平方根の b の 2 乗 -4ac， これ割る 2a です。 ここで a はこの項の係数， b はこの項の係数で -6， c は定数項で -100 です。 では解いてみましょう。 t が等しいのは，-b，この項を マイナスにしたものです。 この項は -6 です，するともし このマイナスをとると， それはプラスの 6 になります。 これは 6 プラスマイナスの 平方根の b の 2 乗があるので， これは -6 の 2 乗で 36 です。 それに -4 かける a があって， この係数はこれです。 それは単に 1 です。 4ac の c は定数項で， -100 です。 すると，-4 かける 1 かける -100 です。 これ全部が 2a で 割られています。 a は 1 でした。すると， これ全部割る 2 です。 これは 6 プラスマイナス 平方根の… これは -4 かける -100 です。 すると，これは正の数になります。 すると，36 たす 400 です。 6 プラスマイナスルートの 436 割る 2 です。 これは整数ではないです。 もしこれを計算器で求めれば， 20.9 位の数になるでしょう。 近似値で約 21 と 言ってもいいのですが， もっと正確な数を 知りたい時もあるでしょう。 たとえば，もし何かの テストをしたいとか， あるいは，何かを火星に 送りたい時などです。 おわかりでしょうか。 今は近似でいいと思います。 ちょっと不正確でも，もっと 扱いやすい数が欲しい時， これは約 21，だいたい 20.9 位でしょう。 では，6 プラスマイナス…， まあ，20.9 と書いておきましょう。 20.9 に，割る 2 です。 これが t です。 では一つ質問です。もし 6 ひく 20.9 をしたら， 何になるでしょうか? 負の数になります。 では，負の時間はここで 意味が通りますか? いいえ，通りません。 この意味は過去にある… そうですね。哲学的な話は 今はしたくないです。 ここでは，負の時間は 意味がないです。 そこで，ここでは正の値 だけに注目します。 なぜなら 6 ひく 20.9 は 負の数だからです。 この方程式を意味があるよう に解く方法は 1 つだけです。 時間は約 6 たす 20.9 に等しいです。 それは，26.9 割る 2 で， 13.45 秒に等しいです。 これは面白いです。 もし，いくつか前のビデオを 覚えていたら， 最初のこういう問題を 解いた時のことですが， そこでは 1 ペニーをこの 高さから落としました。 実は，その問題では 時間を与えました。 私は地面につくまでに 10 秒かかったと言いました。 それから逆にこの崖の高さが 500 メートルだと求めました。 さて，ここでは 500 メートルの高さ の崖，または建物があります。 そして何かを落としました。ここでは 空気抵抗はないものとします。 1 ペニーのようなものは，この場合 ほとんど空気抵抗はないでしょう。 その場合，地面に着く までに 10 秒かかりました。 ここでは重力加速度に 仮定がありました。 しかしもし 1 ペニーを この崖の端から 30 メートル毎秒で 上に投げた場合， その時には地面に着くまで， 13.45 秒かかります。 約 13.5 秒です。 つまり前よりも少し 長くかかります。 それは意味が通るはずです。 なぜなら… ちょっと図を 書いたほうがいいです。 最初の場合には，1 ペニーを 落としました。 その動きは単純に下に 落ちていきました。 2 番目の場合には，1 ペニーは まず上に上がって， それから下に落ちていきました。 これは上に行く時間があって， それから下に行く，より長い 距離を移動する時間があります。 すると，(このような時間になる のは) 意味が通ります。 こちらは 10 秒，そしてこちらは 13.45 秒です。 するとこちらのほうが時間が かかると言うことが，… いや，実はそうは 言えないですね。 あまりいろいろと複雑に したくないです。 でも，これがあなたにとって 意味が通ると嬉しいです。 もし，この数が小さい場合，… ぜひ自分で確かめて 欲しいです。 どうして物体を上に 投げ上げた時に もっと時間がかかるのでしょうか? ここの説明で，より直感的な 感じがわかると嬉しいです。 これであなたはこの方程式に ついての全ての武器を 手に入れました。 基本的な投射物の 運動について解くために あなたに必要な 直感になるといいです。 この後のいくつかのビデオでは， たくさんの問題を解いて， こういう問題になじんで 欲しいです。 その後で，これらの問題を 2 次元と 角度のあるものに 拡張したいと思います。 そこに行く前には， 三角関数を復習して おいて下さい。 ではまたすぐにお会いしましょう。