投射物の最適な角度パート 2: 滞空時間

では，垂直方向の速度 が与えられた時に， この物体がどれだけの間空中に いるかを求めてみましょう。 垂直方向の速度の 大きさは s sin θでした。 すると，垂直方向の速さ s_v は s sin θです。 では，この物体はどれだけの 間空中にあるでしょうか? そうですね。もし，何かが 上方向に向かって 10 メートル毎秒で動いていて， そしてここでは重力が 10 メートル毎秒毎秒で それを減速しているとしましょう。 するとこの物体は毎秒 10 メートル毎秒で減速します。 この物体の速度が 0 になって止まるまで どれだけの時間が かかるでしょうか? ちょっと書いてみましょう。 ある物体が 10 メートル毎秒で 上の方向に移動しているとします。 そして重力がそれを 減速するとします。 重力が 1 秒間に 10 メートル 毎秒減速していくと。 すると 1 秒経過するごとに，この 物体は10 メートル毎秒減速します。 すると，10 メートル毎秒から， 0 メートル毎秒になるまでには ちょうと 1 秒かかるのです。 そして，この物体は ある高さまで到達します。 それからその後，重力はこの物体を 下方向に加速しはじめます。 それからもう 1 秒たつと，0 から， つまり速度 0 からまた 10 メートル毎秒の速さになります。 この場合の物体が 空中にある時間ですが， 空中というのは in the air なので t_a と書きましょう。 そしてそれはこの速度， 10 メートル毎秒， これ割ることの加速度 に等しくなります。 割るこの 10 メートル 毎秒毎秒になります。 時間はこのかける 2 になります。 これはこの物体がある空中の 1 点で， 10 メートル毎秒から 0 メートル毎秒になるまでに かかる時間です。 そしてそれから地面に 落ちてくるまでには まったく同じ時間がかかります。 上に行くのと下に行くのとで 同じ時間がかかる。 ですから 2 をかけます。 もしこの物体が 20 メートル毎秒で 上方向に移動していたとすると， 重力が 10 メートル毎秒毎秒で それを遅くしますので 止まるまでに 2 秒間かかります。 もしこれは 20 だった場合， こちらも 20 で， それで 0 まで減速する ために 2 秒かかる。 それから再び地面に戻ってくる までにさらに 2 秒かかるので， かける 2 で 4 秒ですね。 地面に近付くにつれて， 速さは戻っていきます。 すると上方向の速度が 何であったにせよ， 物体が空中にあった 時間 t_a というのは， 垂直方向の速さ，s_v 割る重力加速度 g になります。 まず最初に垂直方向 の速度があって， それが 0 まで減速していきます。 それあと重力で速さがちょうど 同じになるまで戻ります。 速さは同じですが方向は逆です。 ここでは空気抵抗はない理想 的な状況を仮定しています。 するとこれ自身は上に 行く時間だけなので， 下に行く時間も同じですから これに 2 をかけます。 さて，私たちはもう問題の垂直 方向成分が何か知っています。 それはこの s sin θ でした。 するとそれをここに代入 すればいいでしょう。 そうすると物体が空中にある 時間 t_a というのは何かというと， 速さ，…まずは 2 を書いておきましょう。 2 かける s sin θ。 ちょっとはっきりさせておきたいのですが， この 2 というのは， ここにある 2 と同じです。 これ全部を重力 加速度で割ります。 これが空中にある時間です。 すると，もしあなたがある物体を，… そうですね。たとえば， 100 メートル毎秒で 打ち出すと言ったとします。 そうするとこの θ が何かですが， まあ，θ は 30 度にしましょうか。 すると sin θ，sin 30 度 は 1/2 です。 すると 100 メートル毎秒 かける 1/2 割る 重力加速度かける 2 が， ちょうどこの物体が空中に ある時間です。 この t_a は物体が 上方向に移動して， 静止状態になり， それから地面に落ちてくる までにかかる時間です。