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投射物の最適な角度パート 4: 微積分法をちょっと使って最適な角度と距離を求める

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ここまでで物体の移動距離が 物体を打ち出す 角度の関数として 明示的に書かれました。 ここでちょっと微積分を使って, 最適な角度, 距離を最大にする最適な 角度を求めることができます。 ここでは私たちは θ が 0 度から 90 度の間だけにしか 興味がありません。 ですからその制限を 入れておきましょう。 私たちの最適解の 角度 θ というものは 0 度以上で, 90 度以下になります。 では,どうしたらいいのか 見てみましょう。 これを微積分で求める という考えですが, 微分をとると,その関数に接する 直線の傾きがわかるということを 覚えているかもしれません。 その関数の瞬間の傾きです。 ですからもし,この関数をグラフ に描いたらどうなるかですが, それはグラフ電卓か何かを 使って自分で試して欲しいです。 それはこの区間ではこんな 感じになるでしょう。 この軸は距離です。 距離は θ の関数です。 そしてこちらの軸が θ 軸です。 ここでは 0 から 90 度の間の 角度だけに着目します。 すると,もしこれをグラフに 描くときには, こちらが 0 度で, こちらが 90 度でしょう。 この関数のグラフは,この 距離の関数のグラフは,…。 こんな感じになるでしょう。 こんな感じです。 ここでしたいことは,この 角度を求めることです。 このある角度の時に, 最も遠くまで飛ぶという 最適な距離を与えるのです。 それはここです。ここが 最適な距離です。 最大の距離です。 それがここで求めたいことです。 グラフ電卓を使って 描いてもいいですが, このグラフを見ると, 最適な距離の所での 瞬間の傾きはどうなっていますか? そうですね。平らです。 ここの傾きは 0 になっています。 ここで私がする必要があるのは この関数の微分をとって, この関数の微分値,瞬間の傾きが 0 に等しくなる時の角度が 何かを求めることです。 そうすれば,このミステリーな 角度がわかります。 (それは) この物体を打ち出す 時の最適な角度になります。 では微分,導関数を 計算してみましょう。 このビデオでは微積分は知って いるものとちょっと考えています。 ここでは積の微分の 規則を使います。 微分は,(ここでは) それを d プライムと呼びますが,… この距離の θ に関する微分です。 これが等しいのは何かというと, この s と g は定数ですから, そのまま前に書いて おくことができます。 そして,θに関するこの部分 の微分をとるためには, 関数の積の微分の 法則を使います。 関数の積の微分の法則では, まず最初の関数の微分かける 2 番目の関数をとります, ですから cos θ の微分で, - sin θ です。 そしてそれに 2 番目の関数を そのままかけます。 ですからそれは sin θ です。 これにたすことの,最初の関数, それはそのまま cos θ です。 cos θ,これかける 2 番目の 関数の微分です。 sin θ の微分は cos θ です。 ちょっと混乱するかもしれませんが, ここでしたことは,最初の関数の 微分かける 2 番目の関数, そしてそれたす 2 番目の関数の 微分かける最初の関数です。 もうちょっとはっきり させておきましょう。 ここにあるものの微分をとります。 これは θ に関する微分です。 そしてこちらにあるものの微分を とってこう置くというものです。 cos θ の微分をとって sin θ をかける。 そして sin の微分をとって, cos θ をかけています。 これが積の微分の法則です。 ではどうなるでしょうか? これはもっと簡単に することができます。 この d プライムが等しいのは,… この定数はそのままです。 2s の 2 乗割る g かける,… -sin θ かける sin θ, これは - sin の 2 乗 θ です。 それから cos θ かける cos θ は, cos 2 乗の θ です。 では,前に言ったように, 私たちはこの点, この微分,瞬間の傾きが 0 になる 角度を求めたいと思っています。 ですからこの式全体が 0 に 等しいと置けます。 この θ が知りたいので θ について解きましょう。 θ について解くために 最初にすることは, 両辺を 2s^2 割る g で割ることです。 もし左辺をそれで割れば, この 2s^2 割る g が キャンセルされます。 右辺も,それで割ります。 s が 0 の時はあまり 意味がないので, s を正とすると,2s^2 割る g は 0 ではありません。 ですから,右辺も 0 になります。 これをちょっと簡単にしましょう。 - sin 2 乗の θ たす, cos 2 乗の θ は 0 に等しくなります。 さて,もしこの両辺に sin の 2 乗 の θ をたすとどうなりますか。 +sin の 2 乗の θ を両辺にたします。 何が残るかというと, ここはキャンセルされて, cos 2 乗の θ が残ります。 これが等しいのは sin 2 乗の θ です。 さて,これらの両方ともこの 区間では0以上です。 すると,両辺の平方根の 正のものがとれます。 この方程式の両辺のプリンシパル ルートがとれるということです。 ですからプリンシパルルート をとってみましょう。 おっと…実は,これをするもっと 興味深い方法がありました。 それはこの方程式の両辺を cos の 2 乗の θ で割ることです。 この cos θ は区間内では 0 に等しくないとしましょう。 θ は 90 度ではないとすると, cos の 2 乗の θ で両辺を 割ることができます。 これはさきほどのプリンシパル ルートの方法でもできます。 どちらでもできます。 ここで興味深いのは こちらが 1 になるということです。 そして,1 が等しいのはこれです。 これは…,sin の θ 割る cos の θ は何ですか? sin…こちらは sin θ 割る cos θ … これの全体の 2 乗になります。 ある平方割るもう 1 つの 平方があるので, これは分子割る分母の その全体を 2 乗した ものと同じです。 では sin θ割る cos θは何ですか? それは tan θ です。 すると 1 が等しいのは, tan 2 乗の θ です。 そして,この方程式の両辺の 正の平方根をとることもできます。 tan は 0 度から 90 度の間は 正の値になりますから, それはできます。 すると,両辺の平方根 の正の値をとると, 1 の平方根のうち 正のものは 1 です。 そしてそれが tan θ に等しい。 そして両辺で tan の 逆関数をとります。 すると arctan の 1 が θ に等しくなります。 これはある角度θがあって, その tan をとると, 1 になるということをちょっと変わった 言い方をしているだけです。 これは計算器を使って 解くこともできますし, あなたはこれが何か 知っているかもしれません。 arctan 1 は 45 度です。 もしラジアンを使っているのならば, arctan 1 は pi/4 ラジアンです。 どちらを使ってもかまいません。 するとこの物体を投射する 時の最適な角度というのは 45 度だということがわかりました。 では 45 度の角度で投射した時の 最適な距離は何になるでしょうか? それは,この場合には単純に 元の式に戻ればいいです。 私たちは導いた元の 式に戻ることができて, 45 度で投射する 場合を考えます。 それは sin 45 度です。 これは何かというと √2/2 です。 これは計算器を 使ってもいいですし, 単位円からもうわかる かもしれません。 cos 45 度も,これも やはり √2/2 です。 もしここでの等式のプリン シパル・ルートだけをとれば, この区間では cos θ は sin θ に 等しくないといけないとわかります。 そしてそれはこの区間では 45 度の時だけです。 これが与えられた時, これをこの上の元の式, 元の関数に 代入することができます。 するとこの物体が移動する 最適な距離,最大の距離は, θ の関数としてのこの距離, 45 度の時です。 これが等しいのは 2s の 2 乗割る g かける cos θ ,それは √2 / 2 です。 これかけるこの sin θ, sin θ もやはり √2 / 2 です。 では √2 かける √2 は何ですか? それは 2 です。 これをちょっと簡単 にしてみましょう。 √2 かける √2 は 2 です。 この 2 はここ (の 2) と キャンセルできます。 そしてこの 2 もここの 2 と キャンセルできます。 すると,45 度の時の最適な距離は, ここに残った s の 2 乗割る g です。 s 2 乗割る g です。 ここでは空気抵抗はないもの, ある理想的な状況を仮定します。 これはどんな惑星上でも, どんな速度で打ち出しても, 空気抵抗がない場合, 最適な角度がいつも 45 度という意味です。 そしてその最適な 角度で打ち出せば, 物体は s の 2 乗割る g だけ飛ぶということです。 もとの問題に戻りましょう。 もし s が 10 メートル 毎秒だったとしましょう。 s は,10 メートル 毎秒だと仮定します。 そして,私たちが 考えている世界では, 重力加速度を 10 メートル毎秒 の 2 乗に等しいとしましょう。 簡単のために,ちょうど 切りのいい 10 にします。 すると,ここまで導いてきたことから, 最適な距離というのは, この最適な距離, 最大の距離というのは, これは s の 2 乗,… これは 100 ですね。 これは 100 割ることの, 重力加速度。 それは 10 と仮定しました。 単位ですが,「メートル毎秒」 を 2 乗すると, メートルの 2 乗割る 毎秒の 2 乗で, これを重力加速度,メートル 毎秒の 2 乗で割ります。 秒の 2 乗はキャンセルされます。 メートルの 2 乗割るメートルで メートルが残ります。 ですから最適な距離は 10 メートルです。 なかなか素敵な結果だと思います。