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コース: 物理学ライブラリ > 単位 2

レッスン 1: 2 次元の投射物の運動

2 次元の投射物の運動とは何ですか?

空中を運動する物体について学びましょう。

2 次元の投射物とは何ですか?

糖分の取りすぎで怒りっぽくなってしまったあなたは，岩をある角度で空中に投げて怒りを静めることにしました。それは以下の図の点線の曲線で示されたような軌跡を描いて空中を移動します。この場合，この岩は 2 次元の投射物と考えられます。なぜならこれは空中を垂直方向と水平方向の両方に飛んでいくからです。そしてそれは重力の影響だけを受けています。

はい，空気抵抗はあります。空中を移動するすべての物体はいくらかの空気抵抗にあいます。しかしながら，空気抵抗を扱うのは問題を難しくします。そのため，私たちはしばしば空気抵抗は無視できると仮定します (すなわち，それが無視できるほど十分に小さいとします)。これはいつも良い近似であるとは限りません。しかし，空気抵抗の力に対して十分に大きな重量の物体にはうまく働くことが多いです。

物体の速度が増すにつれて物体に働く空気抵抗は大きくなることを心にとめておきましょう。ですから，私たちは普通，物体の速度は空気抵抗がまだ十分無視できるだけの十分小さな速度である状況を考えます。

重力は下の方向へと引っ張る力ですから，重力は岩の垂直方向の速度の要素

v_{y}

にだけしか影響しません。速度の水平方向の要素

v_{x}

は影響されず，その経路にそって動いている間は一定のままです。

垂直方向の速度

v_{y}

が変化し，水平方向の速度

v_{x}

が一定のままであることを見るために，下の図で点をスライドさせてみてください。

コンセプトのチェック: 岩の軌道の最高点では垂直方向の速度の値は何でしょうか?

最高点では速度の垂直方向成分は 0 です。この岩はその最高点ではその瞬間には垂直方向には停止しています。そしてその直後から方向を変えて下の方向へと落ち始めます。

これは上記の図で速度の垂直方向の成分

v_{y}

が消える最高点に緑のスライダーをドラッグすることで見ることができます。

2 次元の投射物の運動は数学的にはどのように扱うのですか?

2 次元の投射物の運動を扱う一番簡単な方法の一つは，運動をそれぞれの方向について別々に考えることです。言いかえれば，私たちはこの岩の水平方向の動きを記述する 1 組の方程式と，この岩の垂直方向の動きを記述する垂直方向のもう 1 組みの方程式を使います。こうすると，1つの難しい 2 次元の運動の問題を 2つの より簡単な 1 次元の運動の問題に変換することができます。このようにすることができるのは，この岩の垂直方向の速度はこの岩の水平方向の速度に影響しないからです。同じように，この岩を投げたときに大きな水平方向の速度を与えてもそれはこの岩の垂直方向の速度に影響しません。つまり，もし 1 つの弾丸を水平方向に銃で打ち出すと同時に，もう 1 つの弾丸を同じ高さから単純に手で落とした場合，この 2 つは同時に地面に落ちます。

はい，正しいです。しかし，この考えは多くの人たちには確かに直観に反した考えでしょう。しかし，もし空気抵抗がない場合，そして弾丸が完全に水平に発射された場合，打ち出された弾丸は落とされた弾丸と同時に地面に落ちます。

この理由は，弾丸の水平方向の速度は弾丸の垂直方向の加速度には影響しないからです。そのため，どちらの弾丸でも垂直方向の速度の変化は同じ時間では同じだけの大きさになります (すなわち，水平方向の速度を持つ弾丸は下向きの動きの速度の変化率を変化させないという事実があります)。

水平方向:

水平方向には加速度はありません。なぜなら重力は投射物を横に引っ張ることがないからです。それは下方にだけ働きます。空気抵抗は水平方向の加速度の原因になることはあるでしょう。それは水平方向の動きを遅くします。しかし，私たちはここでは空気抵抗は無視できるものだと考えていますので，投射物の水平方向の速度は一定であると仮定することができます。

すると，水平方向については，次の等式を使うことができます。

Δ x = v_{x} t

速度がある方向に対して定数の時にはいつでもその物体がその方向にどれだけ動いたかを求めるために

Δ x = v t

の式を使うことができます。

これについて考えるもう一つの方法は一定の水平方向速度の時には

a_{x} = 0

であるという意味を考えることです。すると，

a_{x} = 0

をキネマティックの式

Δ x = v_{0 x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2}

に代入することで，

Δ x = v_{0 x} t

が得られます。また私たちは実は水平方向の初速度という必要はありません。なぜなら水平方向の速度は一定だからです。

v_{0 x}

を単純に

v_{x}

で置き換えると

Δ x = v_{x} t

が得られます。

注意: この水平方向の等式には水平方向の変数だけを代入することを確認して下さい。この等式の変数のうちの 2 つを知っていれば，残りの未知変数について解くことができます。

垂直方向:

2 次元の投射物は重力による一定の下方への加速度

a_{y} = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

を持ちます。垂直方向の加速度は一定ですから，以下に示される 4 つのキネマティックの式の 1 つを垂直方向の変数について解くことができます。

1. v_{y} = v_{0 y} + a_{y} t

2. Δ y = (\frac{v_{y} + v_{0 y}}{2}) t

3. Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

4. v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y

この垂直方向の等式には垂直方向の変数だけを代入することを確認して下さい。これらの等式の変数のうちの 3 つを知っていれば，残りの未知変数について解くことができます。

注意: 与えられた運動においては，時刻の間隔

t

(以下時間と書きます) は垂直方向の式と水平方向の式で同じ値になります。これはつまり，もし時間

t

について解くことができれば，その時間

t

を垂直方向または水平方向のいずれかの式に代入することができるという意味です。この戦略は多くの問題で使われます。よくある方法は，垂直方向の等式で時間

t

について解いて，それを水平方向の等式に代入するものです (あるいはその逆を行います)。

2 次元の投射物で難しいことは何ですか?

よくある間違いは，垂直方向の成分を水平方向の等式に代入したり，その逆をしてしまうことです。投射物のそれぞれの方向 (水平方向と垂直方向) が独立して働くのは，あなたが異なる方向 (

x

または

y

) をそれぞれの等式で別々に扱っている場合だけです。

初速度が斜め方向にある場合，垂直方向の成分と水平方向の成分に分解する必要があります。垂直方向の成分と水平方向の成分に分解する方法がわからないという人もいると思います。1 つの方法としては，3 角法を使うことができます。もし 3 角法を使ってベクトルを成分に分解したい時にはこの記事が手助けになるでしょう。

投射物が水平方向に発射された場合には，垂直方向の初速度は 0，つまり

v_{0 y} = 0

，です。(以下の例題 1 を参照してください。) 多くの初学者はある物体が水平方向だけの初速度を持ち，その時には垂直方向の速度成分が 0 であるということを理解するのに苦労しています。

2 次元の投射物の運動の例題を解くというのはどんな感じになりますか?

例題 1: 水平方向に発射された水風船

1 個の水風船が初速度

v_{0} = 8.31 \frac{m}{s}

で，

H = 23.0 m

の高さの建物の屋根から水平方向に発射されました。

この水風船は地面に当たるまで水平方向にどれだけ移動しますか?

与えられた変数を含んだ図を書くことからはじめましょう。

飛行時間

t

がわかれば，

Δ x = v_{x} t

を使って水平方向の変位を計算することができます。時間について解くために，垂直方向については 3 つの変数を知っているということを思い出しましょう (

Δ y = - 23.0 m

v_{0 y} = 0

a = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

)。

初速度の垂直方向の成分は 0 (

v_{0 y} = 0

) です。なぜならこの水風船は始めに水平方向に投げられたからです。初速度に垂直方向成分があるためには，この水風船は始めに上方向か下方向に斜めの角度を持たなくてはいけないでしょう。

垂直方向の変位は

- 23 m

です。なぜならこの水風船は建物の屋根の高さから下方向に落下したからです。

投射物の垂直方向の加速度はいつも重力によるもので，

a_{y} = - g = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

です。

ですから私たちは時間

t

について解くために垂直方向のキネマティックの式を使います。最終速度

v_{y}

はわかりませんが，最終速度

v_{y}

を求めるようにも尋ねられていません。ですから，最終速度を含んでいない垂直方向のキネマティックの式を使いましょう。

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (最終速度を含まない垂直方向のキネマティックの式)

- H = (0) t + \frac{1}{2} (- g) t^{2} (既知の垂直方向の変数を代入)

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}} (時間 t についてシンボリックに解く)

t = \sqrt{\frac{2 (- 23.0 m)}{- 9.8 \frac{m}{s^{2}}}} = 2.17 s (数値を代入して飛行時間を求める)

さてここで水平方向の変位

Δ x

を求めるためには，この時間

t

を水平方向の等式に代入する必要があります。

Δ x = v_{x} t (水平方向の変位のための等式を使う)

Δ x = (8.31 \frac{m}{s}) (2.17 s) (飛行時間と v_{x} を 代 入 す る)

私たちは上記の垂直方向の式を使った計算で，飛行時間が

t = 2.17 s

であることを求めました。

初速度の水平方向の成分の大きさは初期の全体の速さ，

8.31 \frac{m}{s}

に等しくなります。なぜなら，この水風船は最初には水平方向に投げられたからです。もし，この水風船が上方向，または下方向にある角度をもって投げられたとしたら，この初速度の水平方向成分を求めるために 3 角関数を使わなくてはならなかったでしょう。

Δ x = 18.0 m (計算してお祝いしましょう!)

すると水風船は建物の端から水平方向に

18.0 m

離れたところで地面に当たります。

はい，できます。そして代数的に解くというのは素晴らしい考えです。というのも，そうすることで基本的にはこのタイプの全ての可能な問題が解けてしまうからです。

例えば，時間についての文字式

t = \sqrt{\frac{2 H}{g}}

と初速度

v_{0}

を水平方向の変位の式

Δ x = v_{x} t

に代入すると，以下の式が得られます。

Δ x = v_{0} \sqrt{\frac{2 H}{g}}

この式は水平方向にどんな速度

v_{0}

，どんな高さ

H

の建物の屋根の端から投射されたどんな投射物にでも使うことができます。ここでは特定の問題に応じて建物の高さと初速度を代入するだけで，この投射物が地面に衝突するまでにどれだけ水平方向に移動するかの答えが求まります。

例題 2: 角度を持って投射されたカボチャ

下図のように，カボチャを 1 個，空気砲を使って高さ

H = 18.0 m

の崖の端から初速

v_{0} = 11.4 \frac{m}{s}

，

θ = {52.1}^{\circ}

の角度で打ち出します。

地面に当たる直前のこのカボチャの速さは何ですか?

もし，このカボチャの最終速度の成分 (

v_{x}

と

v_{y}

) を求めることができたら，このカボチャの最終の速さを求めることができます。

私たちはこのカボチャが地面に衝突する直前の速さを求めようとしています。ですから，最終速度を 0 とは仮定しません。

その上，このカボチャが地面に衝突した時にはもう加速度は

a_{y} = - 9.8 \frac{m}{s^{2}}

とは言えなくなっています。なぜなら，衝突によって未知の加速度が加わるからです。キネマティックの式はある時間間隔の間には加速度が一定である時にだけ真です。これは私たちは普通は投射物が地面に当たった時の状態を含まないことを意味します。なぜなら，普通，私たちにはその時の加速度についての情報がないからです。

これを求める前に，まずは初速度の成分 (

v_{0 x}

と

v_{0 y}

) を sin と cos の定義を使って求める必要があります。

cos θ = \frac{隣接辺}{斜辺} = \frac{v_{0 x}}{v_{0}} (cos の定義を使う)

v_{0 x} = v_{0} cos θ (v_{0 x} について解く)

v_{0 x} = (11.4 \frac{m}{s}) cos ({52.1}^{\circ}) (数値を代入する)

v_{0 x} = 7.00 \frac{m}{s} (計算して v_{0 x} を求める)

(注意: もしここでやっていることが魔法のようで理解できないようでしたら，この記事をチェックしてみてください。ベクトルを成分に分解する助けになるはずです。)

私たちが求めた初速度の水平方向成分の値

v_{0 x} = 7.00 \frac{m}{s}

は最終速度の水平方向の成分

v_{x} = 7.00 \frac{m}{s}

でもあります。なぜなら，速度の水平方向成分は物体の飛行の間には一定のままだからです (空気抵抗はないものと仮定しています)。

初速度の垂直方向成分を求めるためには，上記と同じ手順を使いますが， cos の代わりに sin を使います。

sin θ = \frac{反対辺}{斜辺} = \frac{v_{0 y}}{v_{0}} (sin の定義を使う)

v_{0 y} = v_{0} sin θ (v_{0 y} について解く)

v_{0 y} = (11.4 \frac{m}{s}) sin ({52.1}^{\circ}) (数値を代入する)

v_{0 y} = 9.00 \frac{m}{s} (計算して v_{0 y} を求める)

投射物は空中を移動するにつれ，垂直方向の速度成分

v_{y}

が変化しますので，垂直方向についてのキネマティックの式を使い，最終速度の垂直方向成分

v_{y}

について解く必要があります。私たちは飛行時間

t

を知りませんし，また，時間

t

を求めるようにも言われていません。ですから，時間

t

を含まない垂直方向についてのキネマティックの式を使います。

v_{y}^{2} = v_{0 y}^{2} + 2 a_{y} Δ y (時間を含まないキネマティックの式を使う)

v_{y}^{2} = (9.00 \frac{m}{s})^{2} + 2 (- 9.8 \frac{m}{s^{2}}) (- 18 m) (既知の値を代入する)

v_{y}^{2} = 434 \frac{m^{2}}{s^{2}} (計算する)

v_{y} = \pm \sqrt{434 \frac{m^{2}}{s^{2}}} = \pm 20.8 \frac{m}{s} (平方根をとる)

v_{y} = - 20.8 \frac{m}{s} (カボチャは下方に移動しているので，平方根の負の値のほうをとる。)

これで最終速度の水平方向の成分と垂直方向の成分がわかりました。ですから，ピタゴラスの定理を使って最終の速さ (すなわち，最終速度の大きさ) を求めることができます。

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (ピタゴラスの定理を使う)

v^{2} = (7.00 \frac{m}{s})^{2} + (- 20.8 \frac{m}{s})^{2} (最終速度の垂直方向成分と水平方向成分を代入する)

v^{2} = 482 \frac{m^{2}}{s^{2}} (計算する)

v = 21.9 \frac{m}{s} (平方根をとる)

この速さ

v = 21.9 \frac{m}{s}

はこのカボチャが地面に衝突する直前の最終速度の大きさです。最終速度とその成分の間の関係は以下の図に示されています。

また，tan の定義を最終速度に使うことで，角度

ϕ

について解くこともできます。

tan ϕ = \frac{反対辺}{隣接辺} = \frac{v_{y}}{v_{x}}

tan ϕ = \frac{20.8 \frac{m}{s}}{7.00 \frac{m}{s}}

ここでは水平方向と最終速度の方向の間の角度の大きさを求めたいのです。そこで，水平方向の速度成分と垂直方向の速度成分のそれぞれの大きさを代入しました。

こうする理由は，ここでの負の値が tan の分子から来たのか，分母から来たのかが計算器にはしばしばわからないからです。この場合には角がどの象限にあるのかを確実に知ることは難しくなります。この負の符号の問題を避けるため，私たちは最終速度の指している方向を単純に描いて，速度の要素である 3 角形の辺の長さは正の値を持つと考えます。それから望む角の大きさだけを求めます。

両辺の tan の逆関数をとることで，次が得られます。

t a n^{- 1} (tan ϕ) = t a n^{- 1} (\frac{20.8 \frac{m}{s}}{7.00 \frac{m}{s}})

左辺は

ϕ

になります。そして，右辺の値は計算器に代入して求めることができます。

ϕ = {71.4}^{\circ}

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