水平方向に発射された投射物

水平方向に投射された投射物を どう扱うかについて考えましょう。 これらは技術的には， あなたが投射物の問題を どう解くかについて知っていれば， 特に何も新しくはありません。 しかし，これらの問題では 多くの人たちが よく間違えるポイントと いうものがあります。 それはすぐお見せしましょう。 そうすれば，同じ罠には はまらないでしょう。 まずは，水平方向に 発射された投射物 という言葉の意味ですが，これは， 始めの速度が完全に 水平で投射された あらゆる物体のことです。 もし崖の端から何かが発射された時， たとえば，この真っ直ぐに 水平な方向で， 垂直方向の要素がまったくない場合が， 水平方向に発射された投射物です。 どんなものかというと退屈な例ですが， 単純にボールがテーブルの端から 転がり落ちるというものもそうです。 このテーブルが平らで水平だった場合， ボールが端から落ちる時， このボールの速度は最初は 単に水平方向のみです。 するともしこの投射物としての 物体の初速度が 完全に水平方向だけだったら， この物体は水平方向に打ち 出された投射物になります。 もう少し面白い例は，…。 この人が崖からのダイビングや ベースジャンプをするとしましょう。 すると，この人は「行くぞー」 という感じでしょうか。 この人は気合が入っています。 この人は走っていきますが， 崖でジャンプはしません。 単に崖をまっすぐ走り抜けます。 この人は初速度 5 メートル毎秒で 崖をまっすぐに走り抜けるとしましょう。 この人は興奮していて，…。 この崖は 30 メートルの 高さがあるとします。 これは普通ではありません。 30 メートルの高さです。 この人は投げ出されて， 空中を飛んでいきます。 下には水があって，最初は このような感じて進み， だんだん落ちていって， 最後はざぶんと水柱が立つでしょう。 この下にボートや魚があったら 当たらないといいですね。 ちょっとこれだと魚に 当たってしまうみたいです。 いいでしょう。魚がここにいて， (この人は) 水に飛び込みました。 私たちが知りたいいくつかの 質問がこの時にあります。 この人は水に落ちるまでに 水平方向にどれだけ 進んだでしょうか? これは古典的な問題で， よく尋ねられるものです。 ここではあなたは崖からのダイバー， クリフダイバーとしましょう。 でも，危ないので自分では 試さないで下さい。 しかし，もしあなたがプロの クリフダイバーなら， この崖の高さの時に， たとえばこの下にある岩を 避けるためには， どれだけのスピードで走らなくては いけないのかを知りたいでしょう。 この崖の下は痛そうな 岩だらけかもしれません。 すると，この岩を通りすぎるには， 私はどれだけ速く走らないと いけないでしょうか? よし，概念的にですが， ここで起きていることは， 他の投射物の問題と まったく同じです。 まず，水平方向，x 方向と 垂直方向，y 方向は 独立しています。 独立しているという意味ですけれども， それは水平方向の速度の変化は， 垂直方向の速度の変化と 関係ないということです。 この 2 つは別々に考えて 良いという意味です。 この垂直方向の速度は 変化するでしょうが， しかしこの水平方向の 速度は同じままです。 これらは互いに影響しません。 言いかえると， この水平方向の速度が 5 メートル 毎秒で始まったのならば， ここでもやっぱり 5 メートル毎秒， 水平方向の速度はずうっと 5 メートル毎秒です。 この運動の全体で，この人は本当に 自由落下する投射物だと仮定します。 この人には前進するための ジェットパックもなければ， 空気の抵抗もないものとします。 この人の水平方向の速度は ですから常に 水面に落ちてしまうここまで 5 メートル毎秒です。 水に落ちると，水の抵抗とかで， この速度は変化するのですが， そういうものは考えないことにします。 では垂直方向はどうでしょうか? 垂直方向には，この人の 初速度はありません。 するとこの人は，単に崖までまっすぐ 走り抜けて，それから 速度を得ていきます。 垂直方向の下向きの速度が 多分どんどん増していきます。 なぜなら重力が引っ張り 続けるからです。 この一番下では画面の 外まで行くかもしれません。 これは大きくなる一方です。 なぜなら，重力が垂直方向に 影響するからです。 しかし水平方向にはありません。 では数学でこれをどうやって 書けばいいでしょうか? わかっていることを書いておきましょう。 まず，水平方向にはこの人は ある初速度 v_{0x} で 移動しはじめました。 これは x 方向の初速度です。 i を初速度として書いてもいいですが， ここでは初速度の意味で 0 を書きます。 それは 5 メートル毎秒です。 x 方向については それだけしかわかりません。 30 メートルが x 方向の 変位だと思うかもしれませんが， それは垂直方向の距離です。 ここでは水平方向の変位については 何も言っていません。 水平方向の変位 ｄｘ は， 私たちが知りたいものです。 これは解きたいものですが ここではまだわからないので 知らないふりをします。 どうやって求めればいいか まだわかりません。 では y 方向についてはどうでしょうか? 何がわかっていますか? わかっていることは，この 30 です。 それは何かというと， デルタ y，これが正の 30 と 言いたいかもしれませんが， それは間違いです。 その理由は，この人は下の方向に 30 メートル落ちる。 崖の頂上からはじめて， 崖の底で終わります。 ですからこの人は最初の位置よりも 30 メートル下で終えます。 ですから変位としては マイナスの 30 メートルです。 というのも下の方向をマイナス， または，左の方向をマイナスとするのが， 典型的な慣用表現だからです。 実はそうでなくてもいいのですが， どちらかは決めなくてはいけなくて， 普通はこうします。 そう決めるとこれは負の変位です。 あと，自由飛行物体については， 垂直方向の加速度は常に -9.8 メートル毎秒の 2 乗で あると知っています。 ここでは下方向は負の 方向と仮定しています。 さて，ここが多くの人が 間違うところです。 多くの人は初速度が y 方向で 5 メートル毎秒だと 思ってしまいます。 単にここで与えられた 5 メートル毎秒に どうも惑わされるようです。 しかしこれは水平方向の速度です。 ここでは水平方向に投げだされた 投射物の運動を考えていて， 垂直方向に投げだされた 投射物の運動ではありません。 初速度のうち，垂直方向の ものは0 です。 垂直方向の初速度はありません。 この人は，垂直方向の上とか下には 投射されていないからです。 この人は，単に真っ直ぐ 水平方向に投射されました。 すると垂直方向の 初速度は 0 m/s です。 多くの人はこれがあまり 好きではないようです。 「ちょっと待った。」という感じでしょうか。 この人が崖から飛んだ後， だんだんと速度が増していきます。 これがどんどんと下の方向に 大きくなっていきます。 しかしそれは崖から飛んだ後の話です。 ここでは崖から飛んだ 瞬間の話をしています。 崖から離れたその瞬間には， 水平方向の速度しかありません。 つまり垂直方向の 初速度は 0 です。 これがどうも多くの人が 混乱するところのようです。 特にこれは問題に明示的に 書かれていないことが多いです。 例えば「クリフダイバーが飛ぶ 距離を求めなさい。 ここで y 方向の初速度は 0 と仮定します。」 とは普通問題に書いていないのです。 その代わりに単に， 問題は「クリフダイバーが崖を 水平方向に走り抜けました。 これこれを求めなさい。」とだけ 書いてあるのが普通です。 何かが水平方向に 投射されたということは， 垂直方向の初速度は ないという意味です。 そこで，この y 方向の初速度に 0 を代入します。 間違えないようにしましょう。 さて，dx を解きたいのですが， x 方向の変位にはほとんど 手がかりがありません。 y 方向については これらを全部知っています。 しかし，これらを x 方向の 変位について解くために 直接使うことはできません。 そこでこれらを使って 時間について解きます。 なぜなら，経過する時間というのは x 方向でも y 方向でも同じだからです。 すると，時間を求めれば， x 方向でも使うことができます。 なぜなら，x 方向とか y 方向とかは関係なく， かかる時間は両方の 方向で同じだからです。 つまり y 方向の -30 の変位の ためにかかる時間というのは， x 方向の変位にかかる 時間と同じだということです。 ですから，時間について 解いてみましょう。 どうしたらいいでしょうか? 変位はわかっています。 加速度もわかっています。 初速度もわかっています。 そして時間を知りたいのですが。 最終速度は知りません。 また，最終速度を求める ようにも言われてません。 まあ，別に知りたくもない ということです。 そこで，最終速度を含まない 式を使うことにしましょう。 それは，デルタ y イコール， y 方向の初速度かける時間， たす 1/2 かける y 方向の加速度 かける時間の 2 乗です。 これで値を代入できます。 y 方向の変位は -30 です。 y 方向の初速度は 0 です。 ここがよくある間違いです。 多くの人が，ここにある 5 を 代入しようとしてしまいます。 しかし，しないで下さい。 それは罠です。 すると 0 かける t は 0 です。 たす 1/2 かける加速度， それは -9.8 メートル 毎秒の 2 乗でした。 それにかける t の 2 乗です。 これで t について解きましょう。 ここが t の 2 乗なので， 平方根をとりましょう。 すると何になりますか? 両辺に 2 をかけなくては いけないので， -30 メートル毎秒の 2 乗かける 2 です。 そして両辺を 9.8 メートル 毎秒の 2 乗で割ります。 これが何に等しいかというと，…。 ちょっと気をつけましょう。 もしあなたがここの -30 の マイナスを忘れると， ここに来た時に分子が正になって， 分母が負になります。 これを代入してみると 負の数の平方根を とろうとすることになります。 計算器で計算しようとすると， 「どういう意味なのかわかりません。」 と計算器は答えるでしょう。 それで困って， 「とりあえずここを正にしてみよう」 とするかもしれません。 そうするとたまたま 上手くいったようにみえます。 なぜなら，正しくはこれらの 負がキャンセルされるからです。 しかし，わからないのに適当に やるのはいただけません。 ちゃんと理解しましょう。 気をつけましょう。 正しく負の値を代入すれば， ここが全部うまくいって 2.47 秒になります。 これは結構長い時間です。 テーブルから何かが落ちるとか， トランポリンで飛ぶとかは， 普通 1 秒の何分の 1 とかです。 自由落下で 2.47 秒は 結構長い時間です。 そしてこれを x 方向に使います。 これは 30 メートルを垂直方向に 変位するのにかかる時間ですが それはまた，この水平方向の 変位にかかる時間でもあります。 さっきと同じ式を使いましょう。 デルタ x は初速度 v_{0x} かける t たす 1/2 ax かける t の 2 乗です。 これはここにある y 方向の式と まったく同じですけれども， x 方向にしただけです。 デルタ x は d_x でした。 ですからこれを d_x と 書いておきましょう。 この等式をこっちに 移動しようと思います。 デルタ x ，d_x は…。 x 方向の初速度は何かというと， 5 メートル毎秒でした。 ですからここには 5 メートル 毎秒と書きます。 そして，かかった時間は何でしたか? かかった時間というのは 2.47 秒でした。 これは時刻の間隔です。 この人がジャンプしてから， または崖を走り抜けた時刻から， この人が水面に着水 するまでの間の時間。 それは，2.47 秒です。 ちょっとこれを消して，2.47 秒。 2.47 秒です。 この線はこうつなげましょう。 この ax は何ですか? この ax は 0 です。 この人が x 方向に 加速しはじめる 何の理由もありません。 もしッジェットパックがあったり， 空気抵抗があれば違いますけれども， この人が水平方向に加速する 理由は何もありません。 この人はずっと同じ速度のままです。 すると何になるかというと…。 dx は，だいたい 12.4 だったと思います。 ちょっと待って下さい。 計算しておきました。 12.4 メートル位です。 よし，もしこの下の岩が 12 メートルよりももっと伸びていたら， まあ，飛びたくないでしょう。 でももっと短かくても，私は 崖から飛びたくはないです。 実は，安全のために， 自分では試さないで下さい。 こういうことはプロのクリフ ダイバーとかに任せましょう。 これは，もしあなたが どれだけ飛ぶかを 計算したいという時の話です。 最後にもう一度， この問題を解く時に気をつけて 欲しいことを確認しておきます。 まずは負の変位を代入する ことを確認して下さい。 これはあなたが下の 方向に落ちるからです。 もう一つ大事なことは， 垂直方向の初速度は 0 ということです。 なぜなら初期には水平方向の 速度しかないからです。 これは明示的には問題で 与えられないでしょう。 こういうことはあなたの物理の 知識に入れておいてください。