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異なる高さからの発射と着地

ビデオのトランスクリプト

ではもう少し複雑な 2 次元の 投射物の運動の問題を 解いてみましょう。 今回は,投射物を プラットフォームから 打ち出そうと思います。 プラットフォームから発射する。 そして,それはもう一つの他の プラットフォームに着陸します。 他のプラットフォームに着陸する。 また,投射物はある 角度をつけて発射します。 ある角度で発射する。 ちょっと図を上手く描きたいです。 投射物をある角度で発射する。 その角度ですが, ちょっと変わった角度, 53 度を使います。 それは 53 度です。 そしてこれは大砲で 打ち出すとします。 ちょっと図がわかりにくい気がします。 100% クリアにしたいのです。 こんな感じですか,そして この角度が 53 度になります。 そしてこれは,この大砲の先から, 90 メートル毎秒の速度で 発射されるとします。 物体を 90 メートル毎秒 の速度で発射する。 どの高さから投射するかですが, 発射した高さというのは,この 大砲の先からここまでです。 ここにあるこの高さというのは, この高さは 25 メートル だとしましょう。 25 メートル。 そして,こちらの高さは 9 メートルだとしましょう。 こちらは 9 メートルだとします。 つまりこれを基本的には 25 メートルの高さから発射します。 確かに一つ前のビデオでは, 私は大砲をこんな ふうに描きましたが, ここでは,0 の高度から発射して, 0 の高度に着地するとしました。 こちらでは,私たちは,これを 25 メートルの高度から 発射するとします。 それが (投射物が) 大砲の筒の 先から離れる時のことだからです。 それから少なくとも物体の 垂直方向の速度成分は 筒の先から離れた時から 減速が始まります。 そして同じ高度には 着地しないと仮定します。 この問題をどう考えたら いいでしょうか? いつもまず最初にすることですが, それは速度ベクトルを, 水平方向成分と 垂直方向成分に 分解することです。 そして垂直方向成分を使って, 投射物がどれだけの時間 空中にあるかを求めます。 どれだけ物体が空中に あったかがわかれば, どれだけ飛んだかがわかります。 もう一度,ここでは空気抵抗は 無視できるものと仮定しています。 前のビデオでやったことを基にして, ここでも同じように全ての ステップを通してみてみましょう。 もしベクトルをこんなふうに描いたら, その長さが 90 メートル毎秒 というのを表わしています。 そして,角度ですけれども, この角度,x 軸とこのベクトルの 間の角度は 53 度にしました。 ここで水平方向成分を 描いてみましょう。 水平方向成分は こんな感じでしょう。 そして垂直方向成分ですが, オレンジでこう… これはオレンジでなかったですね。 垂直方向成分はこんな 感じで描きます。 するとこのベクトルの垂直方向 成分はこの辺になります。 この辺の長さは何になりますか? これは角の反対の辺です。 基礎の 3 角法で習ったことですが, sin というのが斜辺分の 反対辺になります。 すると sin 53 度が 斜辺分の反対辺になります。 sin の分子が反対辺,(速度の) 垂直方向成分に等しいです。 (これを) 速度の垂直方向成分 の大きさと書くことができます。 ここでは添字に y を 書いておきましょう。 なぜなら,これは y 方向 の成分だからです。 これが分子で分母は, 斜辺の大きさです。 それは元のベクトル の大きさで 90 です。 するとこの辺の長さがわかります。 もし両辺に 90 をかければ, この辺の大きさは, 90 かける sin 53 度に 等しくなります。 さて,もし水平方向 成分が欲しければ, 水平方向の辺というのは 角の隣接辺です。 cos です。soh cah toa。 cos は斜辺分の隣接辺です。 cos は分子が速度 の水平方向成分, x 方向成分と言ってもいいですね。 そして分母は斜辺の 長さですから 90 です。 これは cos 53 度に等しいです。 cos は斜辺分の隣接辺でした。 隣接辺,この長さを 斜辺の 90 で割っています。 この式の両辺に 90 をかけると, 水平方向成分が得られて, それは 90 かける cos 53 度に等しくなります。 さて,物体がどれだけ 空中にあるかは どうやって求めれば いいでしょうか? そうですね。そのためには垂直 方向成分を使いましょう。 特に私たちは異なる 高さを扱っていますので, 以前に使った基本的な推論, 最初の速度が何であっても, 同じ高さに落ちたときには 速度の大きさは同じで, 方向だけが逆になる, という考えは使えません。 なぜなら,ここでは同じ高さ に落ちていないからです。 しかしここでできることは, 以前のビデオで導いた キネマティックの式の 1 つを使うことです。 この式を見えるように,ちょっと コピーして,ペースト しておきましょう。 ここに貼り付けておきます。 ここでは垂直方向 成分を扱っています。 変位は初速度かける 時刻の変化たす, 加速度かける時刻の 変化の 2 乗を割る 2 です。 すると,これをどう使うと, 空中にあった時間を求める ことができるでしょうか? 変位は何ですか? 25 メートルの高さから始めて, 9 メートルの高さで終わります。 この道筋では,これが移動すると, 下方に 16 メートル 変位することになります。 下方に 16 メートル変位する。 これを考える他の方法は, この垂直方向の変位というのが 負の 16 メートルに 等しいということです。 これは -16 メートル, これはもう少し大きく 書いておきましょう。 -16 メートル。 なぜなら 25 ひく 9 は 16 だからです。 そして,これは以前のビデオで導いた この式に代入することができます。 すると -16。ここではスペースの都合で, 単位を全部書くことはしません。 そうすると少しシンプルに見えるでしょう。 これが等しいのは,初速度…。 ここでは垂直方向成分 だけを考えています。 垂直方向成分。 注意して下さい。これは負です。 なぜなら,この変位が 下向きになっているからです。 ここでは高度を失なっているのです。 垂直方向の速度というものは, もうわかっています。 これは 90 かける sin 53 度です。 そうですね。これは同じ 色で書いておきましょう。 始めて新しい問題を解く時なので, わかるように区別 できるようにしましょう。 90 かける sin 53 度です。 これにかける時刻の変化, たす加速度, この加速度は自由落下中の 物体の重力による加速度で, マイナス 9.8 メートル 毎秒の 2 乗になります。 これを 2 で割りますから, マイナス 4.9 メートル 毎秒の 2 乗かける, デルタ t の 2 乗です。 デルタ t の 2 乗。 ではこういうものを解くには どうしたらいいでしょうか? t を因数分解して解くと いうのはちょっと難しそうです。 しかし,ここにあるものは, 2 次方程式だと 気がついたかもしれません。 2 次方程式を解く方法ですが, まずこの方程式の片側 に全てを持っていきます。 それから因数分解をするか, 多分この場合には,2 次方程式の 解の公式を使うことになるでしょう。 それはもう他のビデオで 証明してあります。 これはこの高さの時の 時間について解きます。 ここでは,垂直方向の変位が マイナス 16 メートルです。 そして 2 つの解が 得られるでしょう。 解の一つは時刻の変化で マイナスのものになるでしょう。 それは過去のどこかで, 変位がマイナス 16 メートル になった時でしょう。 この問題ではそれは 意味はありません。 ですからここでは 正の値を考えます。 では,この全部を方程式の 片側に移動しましょう。 16 を両辺にたしましょう。 すると左辺が 0 になります。 0 が等しいのは,…。 私はここで,これをよく見る 標準的な形に書き直します。 まずは,一番高い 次数を書きます。 マイナス 4.9 かける, デルタ t の 2 乗, それからたす 90 sin 53 度 かけるデルタ t, これにたす 16 です。 たす 16,これを 黄色で書きましょう。 たす 16。これ全部が 0 に等しくなります。 そしてこれは, 2 次方程式です。 この根,Δt について 解くことができます。 では 2 次方程式の 解の公式を使って, デルタ t について解きましょう。 デルタ t。 もしあなたがここでしていることが よくわからないという時には, ぜひカーンアカデミーの 代数のプレイリストの 2 次方程式についての ビデオをご覧下さい。 では,これはマイナス b, マイナス b というのは このデルタ t の係数です。 これはマイナス 90 sin 53 度…, うーんと,そうですね。 2次方程式の解の公式を 覚えていない人のために, この上に書いておきましょう。 Ax 2 乗プラス Bx プラス C が, 0 に等しいを解きたいとします。 この根というのは,マイナス B プラスマイナスルートの B 2 乗 マイナス 4AC,この全部を 2A で割ったものです。 これがこの上の方程式を満たす x の値になります。 ここではこれを使います。 これが B の値です。 マイナス B プラスマイナスですが, ここではプラスの根にしか 興味がありません。 なぜなら,解は正の値に なるはずだからです。 しかし,まずはここに 全部書いておきましょう。 プラスマイナス ルートの B の 2 乗。 するとこの値が 2 乗されます。 これは 90 sin 53 度の,これの 2 乗で,それひく 4AC です。 ちょっと場所が足りないですね。 マイナス 4 かける A, それはマイナスの 4.9 です。 ですから,…このままかけましょう。 マイナス 4.9 のまま書いておきます。 かける C,C は16 ですから かける 16 です。 根号をちょっ と伸ばしておきましょう。 これ全部を 2A で割ります。 すると A がマイナス 4.9 です。 ですから 2 かける A は マイナス 9.8 です。 ではここで,計算器を出して, 時刻の変化を求めておきましょう。 そして私は正の値の 根だけに注目します。 負のバージョンについては あなた自身で求めて どんなものか見て下さい。 それはここでは意味がないので, 正のものだけを考えます。 それは変位がマイナス 16 メートルの時の時刻の変化です。 計算器を出しましょう。 これはちょっと注意 して求めてみます。 マイナス 90 sin 53 度たす,…。 私は正のバージョンを計算します。 それが正の値になるはずからです。 すると,たす,平方根の カッコを 2 回ここでは使います。 90 sin 53 度の 2 乗。 これがこの部分です。 これらの 2 つのマイナスは キャンセルされます。 ですから,プラスの 4 かける 4.9 かける 16 です。 そして,ここでカッコ の全体を閉じると, それが平方根の中身です。 それがこの分子になります。 これがこの分子になります。 そして,これを割りますが…。 あれ,マイナスを忘れましたか? ああそうか,私は間違えましたね。 最初に私は正のバージョンが正の 時間になると言いましたが, それは間違いでした。 正のバージョンをとる, この上でのプラスの方を とるという意味ですが, すると分子が正の 2.14 何かになります。 しかしこれを負の 9.8 で 割っています。 そうすると負の値に なってしまいます。 それは私たちが求めたいと思って いた時刻の変化ではありません。 ここでは正になる 時間が欲しいのです。 ちょっともう一度やってみましょう。 ここでマイナスに変えてみます。 すこし戻って… ここをマイナスの符号に変えます。 マイナスに変えて, これでマイナスの値になりました。 なぜなら,最終的には正の 時間にしたいからです。 そして,これで分子が 負の値になりました。 これは実は考えようと しているものです。 分子が負の値になるものに ついて考えたいのです。 これをマイナス 9.8 で割ります。 9.8,マイナス 9.8 で割る。 すると,14.8 何々になりますが, ここで丸めて,14.89 秒 にしましょう。 すると正のバージョンのデルタ t は 14.89 秒に等しいです。 私は最初にこの プラスのバージョンを 使うと言いましたが, それは間違いでした。 なぜなら,この分母が 負だったからです。 すると分子も負のものが欲しいです。 そして分子が負の時だげ, この式の全部が正になります。 そして,これで正の 14.89 秒が得られました。 今回はここまでにしましょうか。 次のビデオ…。いや,そうですね。 ちょっと長くなってしまい ましたけれども 新しいビデオを作らずに, 続けてみましょう。 物体が空中にある時間は 14.89 秒だと求めました。 もし水平方向の変位が何かと あなたに尋ねられたら, この時間の総量, 空中にいる時間に一定の 水平方向の速度をかけます。 この速度の水平方向成分は もう求めました。 すると,x 軸方向にそってどれだけ 変位するかを求めたければ, この時間に,…。 それはここで求めた時間です。 この,前の答えに… これに 90 cos 53 をかけます。 90 cos 53 をかけます。 すると 806 メートルになります。 するとここの変位というのは 806 メートルです。