ある角度での投射物

さて，ここに私のロケットがあります。 このロケットは投射物を打ち出します。 その速度は 10 メートル毎秒で， 多分，岩かなにかそんな ものを打ち出します。 そしてその速度の方向は， 水平方向から上に 30 度の方向です。 または，投射方向と 水平方向の間の角度を 30 度と言ってもいいでしょう。 そして，このビデオで 私たちが求めたいことは， この岩がどれだけ 遠くまでとどくか? です。 どれだけ遠くまでとどくか そしてこの問題を 簡単にするために， ここで，この速度ベクトルを 垂直方向成分と水平方向 成分に分解したいと思います。 まずは垂直方向 成分を使います。 ではそれをちょっと見える ように描いてみましょう。 この速度ベクトルは 垂直方向成分と そして，この水平方向 成分に分解できます。 すると，速度のいくらかは 垂直上方向にもあります。 そして，この岩が空中にどれだけ 長くいるかを求めるために， この垂直方向成分を使います。 なぜなら，空中にいる 時間というのは 水平方向成分には 関係がありません。 その垂直方向成分が 重力でどれだけ減速して， それから加速されていくか を決めるものです。 そして基本的にそれが岩が 空中にどれだけの 間いるかを決めます。 一度空中にいる時間がわかれば， 私たちはそれに 速度の水平方向成分を かけることができて， それがどれだけ遠くまで飛ぶかを決めます。 もう一度，このビデオで 仮定していることですが， 空気抵抗は無視できる ということを仮定しています。 明かに，空気の抵抗が 重要な時には， この岩が空中を移動している間， 水平方向成分は 一定ではありません。 しかし，空気抵抗は 無視できると仮定すると， これは変化しないです。 この実験を，もし純粋に 考えたい場合には， (これが) 月の上で行なわれた と仮定しても良いです。 では，問題を解いてみましょう。 まず私たちがしたいことは， この速度ベクトルの分解です。 この 10 メートル毎秒の大きさを持つ 速度ベクトルを分解します。 これは水平方向とは 30 度の角度があります。 これを x 方向成分， 水平方向成分と そして…。 もう少しきれいに描きましょう。 これがその水平方向成分です。 そして垂直方向成分は， こんな感じです。 まず先に垂直方向成分を 出してみましょう。 この直角 3 角形の斜辺が 与えられている時に どうしたら垂直方向成分が わかりますか? ここの角度はわかっています。 この角があり， 垂直方向成分の長さ， あるいはその大きさは， 角の反対の辺になります。 つまり (角の) 反対の辺の 長さを知りたいのです。 斜辺があります。 また同じですが， soh-cah-toa を書いておきましょう。 Sin は斜辺分の反対辺です。 すると，これは sin です。 sin 30 度です。 sin 30 度が， これが垂直方向成分の大きさ これ割ることの斜辺の 大きさに等しいです。 これは y 方向の 速度の大きさです。 これが垂直方向です。 y は上の方向です。 y 方向の速度の大きさを これを斜辺の大きさで割ります。 または，元々のベクトルの 大きさで割ると言ってもいいです。 これ 10 メートル毎秒で割ります。 10 メートル毎秒。 それから，ここにある 値について解きます。 それには両辺に 10 をかけます。 すると 10 かける sin 30 度， 10 sin 30 度です。 それが垂直方向成分の 大きさに等しくなります。 垂直方向成分の大きさに等しい。 sin 30 度は何ですか? もしかしたら基礎の 3 角法の授業では これを覚えていなくては いけなかったかもしれません。 でも計算器を使っても かまいません。 ただ sin 30 度は簡単で， それは 1/2 です。 もし覚えていなかったら計算器 を使ってもいいですが， もう覚えたでしょう。 sin 30 度は，1/2 です。 すると 10 かける 1/2 ですから それは5 に等しいです。 ちょっと単位を忘れていました。 5 メートル毎秒と書いておきます。 それが垂直方向成分の 大きさに等しくなります。 ちゃんとした色で書きます。 これは垂直方向成分 の大きさに等しい。 すると何になりますか? この投射物は…。 垂直方向成分が 5 メートル毎秒の状況です。 5 メートル毎秒の垂直方向成分 を持っているものというのは， どんなものでも同じだけの 時間空中にあります。 もしあなたが岩や何かを 5 メートル毎秒で真っ直ぐ 上に打ち上げた時と， こちらのロケットの投射物が 空中にある時間は同じです。 なぜなら，同じ垂直方向 成分を持つからです。 すると，まずどれだけの時間 この岩が空中にあるか を考えましょう。 ここでは，地面の高さから始めて， 同じ地面の高さで終わる 状況を考えています。 そして空気抵抗は無視でき ものと仮定しています。 この場合は少し簡単になります。 とはいっても，もっと複雑な 他のバージョンも後で やってみましょう。 ここではまず，「速度の変化 は何か?」と考えます。 すると，もし速度の垂直方向 成分だけを考えるとしたら， まずは初速度ですけれども，…。 先に全部ラベルを つけておきましょう。 私たちは今は垂直方向 成分だけを考えています。 垂直方向成分は皆 青で書きましょう。 まずは垂直方向の初速度ですが， それは 5 メートル毎秒です。 これは 5 メートル毎秒でした。 そして，ここでの慣用として， 上方向を正に， 下方向を負としましょう。 すると最終速度は 何になるでしょうか? まずは上に向かって動き出し， それから重力で減速され， ある点で止まります。 それから下方向に 加速されて落ちます。 もし空気抵抗が無視できるとしたら， 地面に戻った時には， 速度の大きさは始めの 速度と同じになるでしょう。 しかし，その方向は逆です。 すると，最終速度ですが， 今は垂直方向成分だけで， 水平方向成分については まだ考えていません。 まずどれだけの時間，岩が空中 にあるかを考えています。 すると，その最終速度は， マイナスの 5 メートル毎秒です。 これが初速度で 最終速度は，こんな 感じになるでしょう。 同じ大きさで，逆方向です。 すると垂直方向成分の 速度の変化は何ですか? 速度の変化，垂直方向成分 あるいは y 方向の 速度の変化は， 最終速度の，マイナス 5 メートル毎秒から， 初速度の，5 メートル毎秒を ひいたものになります。 それはマイナス 10 メートル 毎秒に等しいです。 では，この情報をどう使えば， 岩が空中にあった時間を 求めることができますか? そうですね。私たちは 垂直方向の，速度の変化…。 これがどうなるかというと…。 垂直方向の速度の変化というのは， 垂直方向成分の加速度かける 時刻の変化に等しくなる ことを知っています。 ここの時刻の変化というのは 経過した時間の全部です。 垂直方向の加速度は何でしたか? これは重力による加速度です。 またはある物体が 自由落下の時に持つ 重力による加速度です。 それはマイナス 9.8 メートル 毎秒の 2 乗です。 するとデルタ ｖ_ｙ は， マイナス 10 メートル毎秒です。 これはさきほど求めました。 これは速度の変化です。 マイナス 10 メートル毎秒が， これがマイナス 9.8 メートル 毎秒の 2 乗 かける時刻の変化に 等しくなります。 すると，物体が空中にある全部 の時間を求めるためには， この式の両辺を 9.8 メートル毎秒 の 2 乗で，割ればいいです。 やってみましょう。 これを同じ色でやりたいと思います。 すると，こちらをマイナス 9.8 メートル毎秒の 2 乗で割って， こちらもマイナス 9.8 メートル 毎秒の 2 乗で割ると ここがキャンセルされます。 そして時刻の変化が出ます。 これを計算器に入れてみましょう。 マイナス割るマイナスがあるので， 正の値になります。 それはいいですね。 なぜなら正の時間に なって欲しいからです。 経過時間は，正の値になると 仮定しています。 さてどうなるか計算器を出して…。 これは，正の 10 を，割る (正の) 9.8 と同じです。 10 割る 9.8 は， ここの小数点以下 2 桁で丸めて，…。 これは 1.02 秒になります。 すると時刻の変化ですが，…。 これは 1.02 になります。 すると時刻の変化は， デルタ t，おっとこれを小文字 にしてしまいました。 こちらも皆小文字にしましょう。 これは 1.02 秒に等しいです。 さて，これで岩がどれだけ 遠くまで届くかを 求めるために，この値を どう使えばいいでしょうか? もし，飛行の間，この速度 の水平方向成分が 一定であると仮定すれば， これに時刻の変化を かけることができます。 そうすると，水平方向の 総変位が得られます。 そうすると，この水平方向の 成分を求める必要がありますが， まだわかっていません。 これがここの速度の x 方向の成分， 水平方向の成分です。 もう一度，私たちは 3 角法を 使ってこれを分解しましょう。 この辺は角の隣接辺です。 すると，斜辺分の隣接辺は， 角の cos でした。 ある角の cos は斜辺分の隣接 辺ですから，cos を使います。 cos 30 度です。 色をあわせて，…。 cos 30 度は…。 この隣接辺…。 この隣接辺の長さというのは， 水平方向成分の大きさでした。 この cos は斜辺分の隣接 辺に等しいので， 分母が 10 メートル毎秒です。 両辺に 10 メートル毎秒をかけます。 すると，隣接辺の 大きさがわかります。 色をそろえるのが難しいです。 隣接辺の大きさは， 10 メートル毎秒かける， cos 30 度に等しいです。 もし cos 30 の値を 覚えていないのならば， 計算器を使ってもいいですが， あるいは，単に，もし 覚えているのなら，これは…。 これは 2 分の√3 と 知っているでしょう。 2 分の√3 です。 すると実際の成分を求めるには， ここで計算器を使ってもいいのですが， まだ，使う必要はないです。 10 かける 2 分の√3 があります。 10 割る 2 は 5 ですから， これは，5 √3 メートル 毎秒になります。 これで，水平方向の 総変位を求めましょう。 そうですね。こんなふうに 考えてみましょうか。 水平方向の変位， 水平方向の変位を， S，S を変位としましょう。 水平方向の変位は，これは， x 方向，または，水平方向の 平均速度かける時間でした。 x 方向の速度は 5√3 メートル毎秒でした。 これは変化しないのです。 これは同じ色で書きましょう。 これは，5√3 メートル毎秒です。 これにかける時刻の変化です。 どれだけの時間これが 空中にあったかです。 それはもうわかっています。 それは 1.02 秒です。 この秒はキャンセルされて， 答えはメートルになります。 ここで計算器を出して 求めてみましょう， 5 かける √3 です。 それかける 1.02 です。 それは 8.83 メートルです。 ここでまるめましょう。 するとこれは… これが等しくなるのは… おっと… これが等しくなるのは，8.8…。 この数でしたか? 8.83 です。8.83 メートル。 できました。 次のビデオでは，私は， このデルタ t を解く 他の方法もお見せしたいと思います。 これを解くにはいくつかの方法がある ということをあなたに見せたいのです。 その方法はこれよりも少し複雑 ですけれども より強力です。 それは始めと終わりが同じ高さ でない場合にも使えます。