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順序付きの集合記法を使った投射物の運動

ビデオのトランスクリプト

よくぞ戻られました。 この元のビデオでは単位と してフィートを使っています。 しかし,考え方は同じです。 最後に追加でメートル法 での式も示しておきます。 単位も直そうかと思ったのですが, 違う単位でも計算できて 換算できることを示して おくのもいいかと思い, そのままにしてあります。 ここではベクトルを書くための もう 1 つの違った 方法を紹介します。 それから前と似たような問題を 新しい記法を使って 解いてみましょう。 これはこういうものもあると いうことを見せるものです。 ですから,あなたの先生が 私と違う記法を使っていても 混乱しないようにして下さい。 記法は実はいくつも あるということです。 前に単位ベクトルに ついて話をした時, 私たちはベクトルを その x 方向成分と y 方向成分で表現 することを学びました。 では,あるベクトルが あるとしましょうか。 ここでは例として まあ何かランダムな ベクトル a があって, それは 2 かける単位 ベクトル i たす, 3 かける単位ベクトル j に等しいとしましょう。 これは単位ベクトル記法です。 実はウィキペディアか何かで見たら, これをエンジニアリング 記法とも呼んでいました。 私はこれを使うのは多分, 私は以前エンジニア だったからでしょう。 しかしこれを書く他の方法があり, 私はそれをカッコの記法 と呼んでいます。 または,順序対の 記法とも言います。 こんなふうに書きます。 このベクトル a というのは こうカッコがあって, x 方向成分,そして,y 方向 成分を書いてカッコを閉じます。 これは座標対の ようにも見えますが, このとがったカッコを書くので ベクトルとわかります。 これが与えられたとして, 前にやった問題と同じ問題 を解いてみましょうか。 これは単純に書き方が違うだけです。 i と j を使う代わりに, これらのカッコを書いて, プラスの記号の代わりに, コンマを書くのです。 ちょっとこれを消して,… 少し変化をつけた問題 を解いてみましょう。 私のいとこがこの問題 を教えてくれました。 それはなかなか良い 問題でしたので, その問題を解きましょう。 前の問題では,… 座標軸をまた描き ますけれども, これは y 軸です。 そしえ,これが x 軸です。 前の問題では, 私はボールを 地面から 4 フィートの 高さから打ち出しました。 ですからこれを 4 と書きます。 そして,120 フィート 毎秒の速さで 30 度の角度で 打ったとしましょう。 すると 30 度の角度なので, こんな感じでしょう。 ここが水平方向から 30 度の角度です。 そしてここには 350 フィート先に 30 フィートの高さの フェンスがあるとします。 ここは 30 です。だいたい こんな感じでしょうか。 そしてここで求めたいのは, このボールが このフェンスを超えるかどうかです。 以前これを解いた時には単位 ベクトル記法を使いました。 そしてフェンスは超え なかったのですね。 しかし今回は,右方向に 5 フィート毎秒の突風が 吹いたとします。 すると,私がボールを打った時に, 5 フィート毎秒で右方向に 突風が吹いたとします。 このとき,風がどれだけ ボールを加速するかとか, このボールの空気抵抗 は何かなどという 複雑なことを 考えてもいいのですが, でもここでは簡単に考える ため,問題として あなたがボールを打った直後に, このボールの速度の x 方向成分が 5 フィート毎秒だけ 増加したとします。 では,問題に戻って, 同じ方法ですが, 違う記法で問題を 解いてみましょう。 以前に書いた方程式を書きます。 まず,与えられた任意の 時刻での位置, それが t の関数で, これが初期位置たす初速度… これらは皆ベクトルです。 初速度かける t たす 加速度ベクトル割る 2 かける t の 2 乗です。 初期位置は何でしたか? ここで新しい記法を 使ってみましょう。 初期位置とは私が ボールを打った地点です。 その x 方向成分は 0 です。 これは,… ここは 0 です。 x 方向成分は 0。 これはほとんど座標みたい ですが,そうではありません。 ちょっと記法が違います。 そして初期位置の y 方向 成分は 4 です。 これは簡単でしょう。 初速度は何ですか? ちょっとこれは求めてみましょう。 これは x 方向 と y 方向 成分に分解できます。 y 方向成分というのは, 120 sin 30 度です。 そして,x 方向成分は 120 cos 30 度です。 これは私がボールを打った 直後の x 方向成分です。 しかし,そこに突風があったので, これに 5 をたさないといけないです。 これが問題で突風があった ということのポイントです。 あなたがボールを打った直後に, 何かの理由でボール が少し加速して 5 フィート毎秒だけ速度が上がった。 では速度ベクトルです。 初期速度。 この記法は実はあまり場所を とらないという良い点もあります。 i とか j とかを書くと,ちょっと 混乱するかもしれません。 この x 方向成分は 120 cos 30 度です。 cos 30 度は, √3 割る 2 ですから, ここに 120 をかけると, 60 √3 です。それに 5 をたす。 ちょっと計算します。 √3 かける 60 たす 5 です。 すると,…簡単に するために丸めましょう。 109 フィート毎秒です。 108.9 なので, 109 としましょう。 初速度の x 方向成分 は 109 です。 そして y 方向成分は 120 かける sin 30 度で, sin 30 度は 1/2 ですから, これは 60 です。 おっと,これは角カッコで ないといけません。 しかしこの丸カッコで 書くこともあります。 それは座標みたいにみえます。 でも私はここで,この 角カッコを使います。 そうすればこれがベクトル だとわかるからです。 そしてこの位置ベクトルは 実は位置の座標と同じです。 しかし速度ベクトルは 明らかに座標ではないです。 加速度ベクトルは,それは 下向き,真下に向いていて, それは -32 フィート毎秒毎秒です。 メートル法では,-9.8 メートル毎秒毎秒。 それが地球 (表面) の 重力加速度です。 加速度ベクトルは x 方向成分は 0 で, y 方向成分が -32 フィート 毎秒毎秒でした。 では,これを元の方程式 に代入しましょう。 位置ベクトルですが, ちょっと色を変えて, あまり単調にならない ようにしましょうか。 位置ベクトルは,… これは初期位置, それは <0,4> たす 初速度ベクトル <109,60> かける t,そして ちょっと場所がなくなってきました。 これたすことの,a t の 2 乗割る 2 です。 すると,t の 2 乗… 2 分の t の 2 乗, これに,ベクトルが <0,-32> です。 これは実はすこし きれいに書く方法です。 しかし,これは単位ベクトル記法 で書いた時と全く同じ意味です。 i と j を使って書く代わりに, ここでは数をカッコに 入れて書きました。 ちょっと簡単化できるか みてみましょう。 何をしているか わかりやすいように, また違った色を使います。 この位置のベクトル p の t が等しいのは これは <0,4> たす,… ここでこの t を分配しましょう。 この t を両方にかけると, <109t, 60t> です。 この t の 2 乗も また分配できます。 0 をかけると 0 です。 そしてこれかけるマイナス 32 は -16 t の 2 乗です。 そしてベクトルはたし算できます。 すると,任意の t の時の位置は, このベクトルの x 方向成分 を全部たしましょう。 0, 109t, 0, ですから, 109t です。 そして y 方向 成分は何ですか? 4 たす 60t ひく 16t の 2 乗です。 できました。 位置のベクトルを時間の 関数として定義しました。 では問題を解きましょう。 今回は突風があるので x 方向 の速度成分が少し大きいです。 この時にはフェンスを超えられる かどうかを見てみましょう。 まず x 方向の 350 フィートを進むのに かかる時間は何かですが, ここですね。これは, 109t が 350 に等しい ところだということです。 350 割る 109 は… 350 割る 109 は 3.2 なんとかです。 だいたい 3.2 秒,すると, t は 3.2 秒に等しいです。 すると,3.2 秒後のこのボール の高さは何でしょうか? 計算しましょう。 3.2 かける 3.2 かける… これに 16 をかけると 164 位です。 これは 164 に等しいです。 そして 60 かける 3.2 は 192 です。192。 ではこれがどうなるかというと, 192 たす 4 ひく 164 は 32 に等しいです。 すると 3.2 秒後の 位置ベクトルというのは x 方向成分が 350 フィート, そして y 方向成分は 32 フィートです。 これは 30 フィートの高さ のフェンスを超えますね。 私たちのボールはフェンスの 高さを 2 フィート超えます。 できました。 最後にメートル法で計算した 式をつけておきます。 1 フィートは 0.3048 m で換算し 同じ計算をしました。 フェンスの高さは 9.1 メートル。 そしてフェンスの地点での ボールの高さは 9.6 メートルです。 ですからボールは フェンスを超えます。 同じ結果でした。 ではまた。